函數與極限筆記

1. 函數極限定義注意前提：設函數 f(x) 在點 x0 的某一去心鄰域內有定義。因此limx→0f(x) 存在與否，與 f(0) 的值無關。

2. 單側極限證明方式：
   存在左極限
   

   limx→x0¯f(x)=A或f(x0¯)=A,
   
   同時存在右極限
   
   limx→x+0f(x)=A或f(x+0)=A,
   
   並且
   
   f(x0¯)=f(x+0)
   
   則 limx→x0f(x) 存在。

3. 當 x 在某一定義域內無定義，則 limf(x) 不存在。

4. 兩種常用極限簡化計算方式：

   1. 當 x→∞ 時，分母中包含自變量與常數時，常數可約去，方便計算，即：
      
      1x2+1<1x2
   2. 當 x→固定值 時，限定 ε 爲固定值進行計算，從而找到 δ 的值。

5. 鉛直漸近線：如果 limx→x0f(x)=∞ ，那麼直線 x=x0 是函數 y=f(x) 的圖形的鉛直漸近線。

6. 有界函數與無窮小的乘積是無窮小。

7. 求分數極限，除特殊表達式外，當分數不可約分且分數無限趨近於0時，f(x) 無限趨近於0。

8. limx→∞axn=alimx→∞1xn=a(limx→∞1x)n=0，其中a爲常數，n爲正整數，limx→∞1x=0

9. 兩個重要極限：

   1. limx→0sinxx=1

   2. limx→∞(1+1x)x=e

10. 夾逼準則 – 函數極限：如果
    

    1.當x∈⋃o(x0,r)（或|x|>M）時，g(x)⩽f(x)⩽h(x);2.limx→x0(x→∞)g(x)=A，limx→x0(x→∞)h(x)=A,
    
    那麼
    
    limx→x0(x→∞)f(x)
    
    存在，且等於A。

11. 等價無窮小：如果 limβα=1 ，那麼就說 β 與 α 是等價無窮小，記作 α∼β 。幾種常用的等價無窮小轉換如下：

    1. 當 x→0 時，
       

       1+x−−−−−√n−1∼1nx,sinx∼x,tanx∼x,arcsinx∼x,1−cosx∼12x2

    2. 後續將繼續補充。