向量是指具有大小和方向的量,在物理學中,通常將向量稱爲矢量
標量是指只有大小的量,在物理學中,也叫做標量
箭頭的方向表示向量的方向,線段則表示向量的大小
向量的衆多特性可以是很多概念得到簡化
一,向量
1,向量的表示
- 直角座標系表示:帶箭頭的線段
- 印刷體表示:粗體字母 ,如a、b、D
- 手寫體表示:字母上加一個向右的箭頭,如a、b、D
- 代數表示:a=<x1,x2>=(x1,x2)=(x1x2)=[x1x2]
- 模的表示:∣a∣=x12+x22
2,維度和分量
首先這裏可以打開思路,有人問我,你能想象四維的空間嗎?不能想象就別亂說了。我的確想象不出來,的確我也不能再平面上畫出一個四維的空間,但是這裏的維度是數學層面的!
每一個維度都可以代表任意我們能想象到的事物,這裏的維度完全取決與我們對每個維度的定義!
- 每個維度中的內容:數字、文字或是其他符號都可以
- 不同維度的表示:n維空間用Rn表示,如二維空間R2、三維空間R3
- 維度的分量:向量在其中一個維度上的值成爲該維度的分量,如R3空間的向量a=(1,2,9),那麼a再三個維度的分量分別是1,2,9
3,零向量和單位向量
- 零向量:長度爲零的向量,與任何向量平行,可記作O或Z(zero),O=⎣⎡000⎦⎤,O∈R3
- 單位向量:一個非零向量除以它的模,得到單位向量,N=∣a∣a
二,向量的運算
1,加減法
①加法
向量的加法很簡單,將相同維度的向量依次相加就行了
簡單舉個例子:
a=⎣⎡a1a2a3⎦⎤,b=⎣⎡b1b2b3⎦⎤,a+b=⎣⎡a1+b1a2+b2a3+b3⎦⎤
②減法
和加法一樣簡單,把相同維度的向量依次相減即可
簡單舉個例子:
a=⎣⎡a1a2a3⎦⎤,b=⎣⎡b1b2b3⎦⎤,a−b=⎣⎡a1−b1a2−b2a3−b3⎦⎤
2,數乘
向量乘上一個標量就可以組成數乘的運算
簡單舉個例子:
v=[79],v×2=[1418],v×−6=[−42−54]
3,點積
從向量角度看, 對應點對應積的和就是點積運算,點積的結果是標量
簡單舉個例子:
a=⎣⎡a1a2a3⎦⎤,b=⎣⎡b1b2b3⎦⎤,a⋅b=a1×b1+a2×b2+a3×b3=∑i=13aibi
從幾何角度看,對應的模乘夾角餘弦
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
4,叉積
二維空間中,叉積的定義如下
a=[a1a2],b=[b1b2]
a×b=∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣=a1b2−a2b1
叉積的結果是向量
從幾何角度看,叉積的模等於對應的模乘夾角正弦
a×b=∣a∣∣b∣sinθ
三,行列式
1,組成
行列式是由向量組成的式子,是一種運算,結果爲向量
如上面的叉積就是一個簡單的二階行列式:
∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣
2,性質
- 單位矩陣的行列式爲1
- 如果Dn=det(A)中某行的元素全爲0,那麼Dn=0
- 如果Dn=det(A)中某兩行元素對應成比例,那麼Dn=0
- 如果Dn=det(A)中某兩行互換,那麼互換後的行列式編號,即det(A)=−det(A)
- 倍乘性質:det(kAn×n)=kndet(An×n)
- 倍加性質:∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣=∣∣∣∣a1b1+ka1a2b2+ka1∣∣∣∣
- 單行(列)可拆(加)性:∣∣∣∣∣∣∗a1∗a2a3∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∗b1∗b2b3∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∗a1+b1∗a2+b2a3+b3∣∣∣∣∣∣
- 兩個矩陣相乘的行列式,等於這兩個矩陣的行列式相乘:det(A2)=(det(A))2
3,意義
線性代數研究向量之間的關係,最重要的關係就是獨立或不獨立,行列式等於0即向量獨立,即對應方程組有唯一解
4,計算
上(下)三角矩陣的行列式等於主對角元素的乘積
計算原則:利用行列式的性質化簡成上(下)三角矩陣的樣子,然後計算乘積
通過公式:
det(A)=n!∑±a1αa2βa3γ⋅⋅⋅anω
四,代數餘子式
代數餘子式優點像俄羅斯套娃,可以把行列式的階數一直打開到只剩一階(一個數)
什麼是代數餘子式,舉個例子:
三階行列式的計算公式如下
det(A)=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)
1,代數餘子式公式:
det(A)=a11C11+a12C12+⋅⋅⋅+a1nC1n=i=1∑na1iC1i
Cxy就是axy的代數餘子式,若x+y爲奇數,axy爲負數
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