陳省身發表了大量的數學論文，但在這本文集中只收錄這一篇（全部學術專著和論文的目錄見附錄）。原因是，陳省身把這篇論文作爲他的代表作收入了《數學中的沃爾夫獎》一書。原文發表於美國《Annals of Mathematics》第45卷第9期，1944年。現由王善平譯出，以供讀者研究。
引言
C.B.艾倫多弗與W.芬切爾獨立地把經典的高斯-博內公式推廣到一個可嵌入歐幾里得空間的閉可定向黎曼流形。最近，艾倫多弗與韋伊又把該公式推廣到閉黎曼多面體，並特別證明了它對於一般閉黎曼流形的有效性。在他們的證明中仍然使用了把黎曼胞腔嵌入歐幾里得空間的方法。本文的目的是，利用微分流形的向量場理論，給出該公式的一個直接的內蘊的證明。
本證明的基本思想十分簡單，因此概要的說明會有幫助。令R^n是偶數n維的閉可定向黎曼流形[按照上下文，這裏的R^n不是代表n維歐氏空間]。按照將詳敘於後的方法，我們在R^n中定義一個內蘊的n階外微分形式Ω，它當然等於R^n的不變量乘以體積元素。高斯-博內公式斷言，這一微分形式在R^n上的積分等於R^n的歐拉-龐加萊示性數χ。爲證明這一點，我們從流形R^n轉到由R^n的單位向量構成的2n-1維流形M^(2n-1)。在M^(2n-1)中我們證明Ω等於一n-1階微分形式Ⅱ的外導數。通過定義R^n上一個帶有孤立奇點的連續的單位向量場，我們得到它在M^(2n-1)中的像:n維子流形V^n，而Ω在R^n上的積分就等於V^n上同樣的積分。利用斯托克斯定理證明，後者等於Ⅱ在V^n的邊界上的積分。現在，V^n的邊界正好對應於定義在R^n中的向量場的奇點，一個著名的定理指出它們的指標和等於χ。經過如此解釋，就可以計算Ⅱ在V^n的邊界上的積分，並很容易證明它等於χ。
此方法當然可以用來導出同樣類型的其他公式，並可以經過適當修改，推出黎曼多面體的高斯-博內公式。我們發表此證明，是因爲我們方法的主要思想在這裏是最爲清晰的。進一步的結果會在以後的論文中給出。
ξ1 黎曼幾何基本公式概要
令R^n是閉可定向的、偶數n=2p維、r>=4階的微分流形。假設在R^n中定義了黎曼度量，其基本張量是g_ij，各分量假設是3階可微的。既然我們與多重積分打交道，使用嘉當處理黎曼幾何的方法看來是方便的，該方法主要使用外微分形式的理論，而不是通常的張量分析。下面出現的微分形式都是外微分形式。
按照嘉當的方法，我們對R^n的每一點P給出一組相互垂直的單位向量e_1,e_2,…,e_n，它們具有方向性，這樣一組數Pe_1…e_n，稱爲標架(frame)。R^n在P上切向量空間中的向量v可以由P上的標架表出。於是
(1) v=u_ie_i,
這裏指標i從1到n，重複的指標隱含求和。由列維-齊維塔平移所定義的切向量空間無限小位移法則，給出如下形式的方程組
(2) dP=w_ie_i且de_i=w_ije_j,w_ij+w_ji=0,
這裏w_i,w_ij是普法夫形式。它滿足以下的“結構方程”：
(3) dw_i=w_jw_ji且dw_ij=-w_ikw_jk+Ω_ij,Ω_ij+Ω_ji=0。
在(3)中，Ω_ij是外二次微分形式，它給出了空間的曲率性質。
(3)中等式左邊項的外導數爲0，根據這一結果得到Ω_ij滿足以下方程組
(4) w_jΩ_ji=0且dΩ_ij-w_jkΩ_ik+w_ikΩ_jk=0,
叫做比安基恆等式。
爲了以後的計算，要了解當標架e_1…e_n作特徵正交變換時，Ω_ij如何變化。在P的一個使同一的座標系保持有效的鄰域裏，令e_1…e_n通過特徵正交變換變成e_1^*…e_n^*：
(5) e_i^*=a_ije_j
或
(5') e_i=a_jie_j^*
這裏(a_ij)是特徵正交矩陣，其元素a_ij是座標的函數。假設Ω_ij^*由標架Pe_1^*…e_n^*形成，就如同Ω_ij由標架Pe_1…e_n形成一樣。於是我們容易發現
(6) Ω_ij^*=a_ika_jlΩ_kl。
由(6)我們直接推出下面的結果。令εi_1…i_n是一個符號，它根據i_1,…,i_n是1,…,n的偶置換還是奇置換而取+1或-1值，其他情況下就爲0。由於我們的空間R^n是偶數維n=2p，所以可構造如下的和
(7) Ω=(-1)^(p-1)[1/(2^(2p))(pi^p)(p!)]εi_1…i_2pΩi_1i_2Ωi_3i_4…Ωi_(2p-1)i_2p，
這裏每一指標都從1到n。
利用(6)我們可以看到Ω在標架變換(5)下是不變的，所以它是內蘊的。這一內蘊的微分形式是n階的，所以它是w_1…w_n的倍數。
由於後者的乘積（爲該空間的體積元素）也是內蘊的，因此我們可以寫
(8) Ω=Iw_1…w_n，
這裏係數I是該黎曼流形的不變標量。
根據這些結果，我們就可以把高斯-博內公式寫成如下形式
(9) ∫_R^nΩ=χ，
其中χ是R^n的歐拉-龐加萊特徵。
ξ2 單位向量空間與關於Ω的一個公式
現在我們要從黎曼流形R^n轉到由其單位向量構成的2n-1維流形M^(2n-1)。它是r-1階的閉微分流形。我們當然可以把R^n的局部座標以及(1)中向量v的分量u_i作爲M^(2n-1)的局部座標，它們滿足條件
(1') u_iu_i=1。
如果θ_i是dv的關於標架e_1…e_n的分量，我們有
(10) dv=θ_ie_i,
這裏
(11) θ_i=du_i+u_jw_ji
及
(12) u_iθ_i=0。
對(11)微分，我們得到
(13) dθ_i=θ_jw_ji+u_jΩ_ji。
至於標架變換(5)對分量u_i,θ_i的影響，顯然由以下方程給出
(14) u_i^*=a_iju_j,θ_i^*=a_ijθ_j。
現在我們建構以下兩組微分形式：
(15) Φ_k=
(16) Ψ_k=
形式Φ_k是2p-1階，Ψ_k是2p階，同時我們注意到Ψ_(p-1)與Ω只相差一個常數因子。利用(6)與(14)我們發現Φ_k和Ψ_k都是內蘊的，從而定義在整個黎曼流形R^n上。
ξ3 高斯-博內公式的證明
在R^n是閉的可定向黎曼流形的假設下，我們根據(24)式來給出(9)式的證明。
我們在R^n中定義一個在R^n的點0上有唯一奇點的連續單位向量場。一個著名的定理指出該場在0點的指標等於R^n的歐拉-龐加萊示性數χ。
參考資料和現代註解：
在短短不到6頁紙的篇幅中，陳省身運用嘉當首創的外微分（exterior differential）方法，對流形上的每一點P給出一組正交的單位切向量（unit tangent vector），成爲標架（Frame），這些標架與流形本身一起組成了該流形的單位切叢（Unit Tangent Bundles）。通過反映這些切向量（tangent vector）的列維-齊維塔聯絡性質的方程組，得到反映空間曲率性質的一些外二次微分式（quadratic differential form），這些微分式的組合得到一個內蘊的n階微分式Ω，證明這個Ω是單位切叢裏的一個外導數（exterior
derivative），然後利用歐拉-龐加萊-霍普夫定理，終於證明關於Ω的積分就等於流形的歐拉-龐加萊示性數χ，這就是完成了高斯-博內公式。