本文系作者應美國數學會之邀，在1945年夏季大會上的演講，發表於《Bulletin of American Mathematical Society》第52卷，1946年。中譯者：王善平。
1.引言
大範圍微分幾何研究流形中給定的幾何實在(geometric being)的局部性質與該流形的整體性質之間的關係。該流形在下述意義下是可微的：它被一組座標鄰域所覆蓋，這些座標鄰域都有同樣個數的座標，並且每兩個這樣的不同的座標系在它們的公共區域中用一個至少一階可微的變換來聯繫。這後一假定可以使我們可以在局部幾何的研究中使用微分，進而導致由歐拉、高斯和蒙日首先研究的那些幾何性質。
作爲這類研究課題的一個例子，我們考慮一個閉曲面S，它（至少二階）可微嵌入三維歐式空間中。令K爲S的高斯曲率，dA爲S的面積元素。則經典的高斯-博內公式斷言：
（1）(1/2pi)∫∫_S KdA=2(1-p),
這裏p是S的虧格。這個公式用微分不變量來表示S的虧格p這一拓撲不變量。換句話說，p完全由S的局部性質所決定。
另一個例子考慮嵌入於歐式平面的一條閉曲線C。如果C可求長並有長度l，以及C所圍區域的面積爲A，那麼
（2）l^2-4piA>=0,
其中等號僅當C爲圓周時成立。這就是所謂的等周不等式，它最近被意外地從積分幾何導出，後者是研究微分不變量的積分的學科。
這類研究問題有兩個方面：局部方面和整體方面。經過幾十年的大量工作，局部方面的問題得到了廣泛研究和發展，這些成果集中體現在張量分析理論中。雖然張量分析爲處理大多數局部問題提供了很好的工具，但是對整體問題的研究自然需要引入新的概念和改變人們迄今說遵循的經典處理方法。本文的主要目的是強調在對賦有幾何實在的流形的整體研究中，考慮與該流形有關的新的拓撲空間的重要性。事實上這個想法對於微分幾何的局部方面和整體方面的研究都很重要。關於局部問題，埃利·嘉當對此當然是很熟悉的，他爲他的幾何實在（仿射聯絡、射影聯絡、正則聯絡等等）的一般理論引進了切空間的概念。嘉當意義下的切空間並不總是切向量空間，這構成了難以理解他的工作的原因之一。另一方面，近來關於拓撲學中纖維叢的工作（斯蒂弗爾、惠特尼、費爾德堡、埃雷斯曼、龐特里亞金、斯廷羅德等等）看來爲建立嘉當思想的整體理論奠定了基礎。作者認爲，把這兩部分工作結合起來會爲大範圍微分幾何的研究提供比迄今爲止所得到的更好的概念和工具。本文主要討論由這一觀點而引起的問題的不同方面。
在具體展開以前，我先簡短總結一下討論的要點。我們的問題是研究微分流形上以局部座標系形式給出的幾何實在，這些局部座標系的分量在座標變化時服從確定的變換規則。我們強調，這樣的問題一般總有可能在某種意義下定義在與該流形關聯的一個自然的纖維叢上。於是這個幾何實在以唯一的方式在纖維叢中定義了一組線性微分形式，它給出了該幾何實在的所有局部性質。對於黎曼幾何來說，這個自然的纖維叢就是流形上全部標架所形成的空間，而相應的微分形式給出的實際上是列維-齊維塔平行。關聯的纖維叢的性質由解決所謂等價問題而得到最佳的確定，這個等價問題對於黎曼幾何來說就是形式問題。給定了纖維叢中的線性微分形式集合，就可以通過格拉斯曼分析運算得到更高階的微分形式。這些微分形式定義了上鍊，並且當它們是恰當的時候定義了閉上鍊。研究由關聯的纖維叢向給定流形的投射而產生的兩者的上鍊和閉上鍊之間的相互關係，將會導致對幾何實在整體理論的更深刻的理解。下面試圖表明，在最簡單的情況下這樣的想法會導致怎樣的結果。雖然這將是本文的主要內容，但這並不意味着纖維叢理論在微分幾何只有這樣的應用。事實上，有跡象表明它可能還有其他富有成果的應用。因此看來值得對這一領域做更徹底的研究。
2.格拉斯曼代數
在嘉當方法以前有所謂的格拉斯曼代數。它可以用形式代數的方法定義如下：令K是特徵0的域，令V(n,K)是K上的n維向量空間；那麼V(n,K)上的格拉斯曼代數H就是K上滿足以下條件的超復系統：
①H含有單位元1和V(n,K)的所有元素，並且由這些元素（通過超復系統運算）生成。
②如果x,y屬於V(n,K)，則它們的乘積滿足以下交換規則：
（3）xy=-yx。
③H中的元素只滿足從①和②導出的關係。
3.E.嘉當的微分運算
格拉斯曼代數被弗羅貝尼烏斯和達布成功地用於解決普法夫問題。所謂雙線性共變式就是二次外微分式。然而是E.嘉當首先系統地使用一種與格拉斯曼代數密切相關並涉及高次外微分形式的運算。
令M^n是一個至少二階可微的n維微分流形。在M^n的點P上，反變向量與共變向量構成了兩個（實域上的）向量空間，這兩個空間在它們互爲另一個的線性形式空間的意義下是對偶的。P上線性微分形式的概念同於共變向量的線性形式的概念。因爲令x^1,,x^n爲P的局部座標，共變向量關於x^i座標的分量是X_i，則微分形式
（6）w=∑[i=1->n]X_idx^i,
在它獨立於局部座標系的選擇的這個意義下是內蘊的。反之，內蘊形式w在每個局部座標系中都有一組構成共變向量的分量。
對於在M^n的點P上線性微分形式向量空間，我們構造格拉斯曼代數。這種格拉斯曼代數的形式叫做外微分形式或簡稱微分式。
外微分形式就是多重積分理論中積分號下的形式。事實上，令w是定義在流形M上的m次形式；令K^m是M^n上（組合拓撲意義下的）維數爲m的鏈，即它是一些係數是整數、有理數或實數的歐式空間中的單純形的像的和，這些像是通過至少二階可微的映射得到的；則可以在K^m上定義w的積分。令dK^(m+1)表示維數爲m+1的鏈K^(m+1)的邊緣，則斯托克斯定理可以寫成：
（13）∫_dK^(m+1) w=∫_K^(m+1) dw。
要看清斯托克斯定理的這種形式與通常形式之間的聯繫，只需注意到
（14a）d(Pdx+Qdy)=(Q_x-P_y)dxdy,
（14b）d(Pdx+Qdy+Rdz)=(R_y-Q_z)dydz+(P_z-R_x)dzdx+(Q_x-P_y)dxdy。
4.纖維叢
纖維叢的一個簡單例子就是三維歐式空間中所有與某一球面相切的非零向量形成的流形。這是個拓撲流形，雖然很特殊。然而結果表明，具有類似性質的流形在拓撲學對微分幾何的應用中發揮了重要的作用。在相切於球面的向量的例子中，以下三個事實值得注意：
①由同一點上的切向量形成的空間是相互同胚的，因而同胚於一個固定的空間，我們稱作F_0。
②鄰域U中所有點上的[全體]切向量同胚於U與F_0的拓撲積。特別地，如果P∈U，則有一個依賴於P和U的同胚T，它把P上的切向量映到F_0。
③在②的記號中，我們把T寫成T(P,U)。如果P屬於另一個鄰域V，則映射T(P,V)T^-1(P,U)是F_0自身上的同胚。可以證明T能夠這樣選擇，使得T(P,V)T^-1(P,U)∈G，這裏G是F_0中的旋轉羣或仿射羣。
5.黎曼幾何
在標架e_1,,e_n中，我們有
（19）dP=w_1e_1+…+w_ne_n，
這裏w_1,,w_n是線性微分形式。
（20）ds^2=(w_1)^2+…+(w_n)^2。
所以形式w_i(i=1,,n)的平方和是給定的（通常）二次微分式。
定理5.1：纖維叢中存在唯一的一組線性微分形式w_ij，使得
（21）de_i=∑[j]w_ije_j
和以下等式
（23）d(dP)=0
成立。
等式（21）可以這樣解釋：它提供了把距離點P無限近的點上的一個向量轉至P上的向量的一種手段。這實際上就是人們已知的列維-齊維塔平行的概念。
定理5.2：令M是n維黎曼流形並令F爲M的所有標架形成的纖維叢，則可以在(n(n+1)/2維的)F中唯一確定一組n(n+1)/2個線性無關的線性微分形式w_i、w_ij，它們滿足等式（19）dP=w_1e_1+…+w_ne_n、（21）de_i=∑[j]w_ije_j和（24）dw_i-∑[j]w_jw_ji=0。
如果dζ=0則稱向量ζ+dζ平行於ζ，利用（36）ζ=∑X^if_i和（37）df_i=∑θ^j_if_j式，可以把它寫成
（38）dX^i=∑θ^i_jX^j=0。
容易認出，這些方程就是定義列維-齊維塔平行的那些著名方程。
黎曼幾何中一個重要的事實就是，你不僅要考慮黎曼流形本身而且必須考慮流形上的纖維叢。我們的方法是，直接考慮纖維叢。而通常的張量分析方法通過強調局部座標系來回避它。
附：H.霍普夫關於《大範圍微分幾何若干新觀點》的評論
此篇演講（作於1945年9月）表明，大範圍微分幾何的新時代開始了。這個新時代以纖維叢的拓撲理論與嘉當微分方法的綜合爲特徵。
提綱挈領的開場白（第1節）後，作者簡明扼要地介紹了格拉斯曼代數（第2節）、嘉當微分方法（第3節）、纖維叢（第4節）和黎曼幾何（第5節）。第5節中，嘉當方法被置於中心地位；這裏研究了帶有纖維叢F的黎曼流形M，F由所有的單位向量的正交n-標架形成；熟知的形式w_i,w_ij被作爲F中的形式來解釋。
緊接着的一節（第6節）通過“形式問題”（即這樣的問題：何時形式g_ijdx^idx^j與g^*_ijdx^*idx^*j定義了等距的黎曼度量）表明，引入纖維叢（這裏的纖維叢是正交羣叢）是自然的和必要的，甚至對於“小範圍”微分幾何也是如此。類似的過程不僅適用於黎曼幾何，也適用於其他的幾何理論；這通過道路幾何的例子得以說明。
第7節論述底流形M與纖維叢F之間的關係，與F“相伴”着纖維叢F^(p)，它由M上所有p個正交單位向量形成，M=F^(0)。特別地，（應用德·拉姆定理，從而可以把微分形式等同於閉上鍊）討論了通過F到F^(p)的自然投射而引入的兩者的微分形式之間的關係。此外，這一研究對於理解艾倫多佛-韋伊-陳對高斯-博內公式的推廣是很重要的。