中國剩餘定理與線性同餘方程組求解

線性同餘方程組的形式

實際上一元一次線性同餘方程組，形式如下：

⎧⎩⎨x≡r0(modm0)x≡r1(modm1)⋯$$\{\begin{array}{l}x\equiv r_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_0)\\ x\equiv r_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ \cdots \end{array}$$

包含有具體數字的線性同餘方程組問題最早見於《孫子算經》（成書於約南北朝時期，因此與《孫子兵法》的孫子應該不是同一個孫子），該書也給出了該具體問題的解法。因此求解線性同餘方程組有關的定理又稱作孫子定理。但實際上《孫子算經》並未給出證明及一般性解法。最早的系統性論述應該是南宋時期秦九韶在《算術九章》中提出的“大衍求一術”。因此最後有關該問題的理論被稱作中國剩餘定理。

中國剩餘定理

如果m0,m1,⋯$m_0,m_1,\cdots$ 兩兩互質，則方程有唯一解，在模∏imi$\prod _i{m}_i$ 的意義下。解法如下：
令M=∏imi$M=\prod _i{m}_i$ ，且Mi=M/mi$M_i=M/m_i$
對每一個Mi$M_i$ 求出在模mi$m_i$ 意義下的逆元，記作xi$x_i$
即滿足Mi⋅xi≡1(modmi)$M_i\cdot x_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
則原方程組的解爲x=∏iri⋅xi⋅MimodM$x=\prod _i{r}_i\cdot x_i\cdot M_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{M}$

線性同餘方程組的一般解法

使用中國剩餘定理理論上可以很方便的解出模數兩兩互質的方程組。對於不互質的情況可以使用下面的一般解法。

單獨的線性同餘方程求解

考慮單獨的一個線性同餘方程，已知a,b,m$a,b,m$ ，求x$x$ 滿足如下方程：

ax≡b(modm)$$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$

原方程等價於：

ax+my=b$$ax+my=b$$

根據裴蜀定理，上述方程有解的充要條件是b$b$ 是gcd(a,m)$gcd(a,m)$ 的整數倍。利用擴展的擴展的歐幾里德算法可以很容易求得x0$x_0$ 使得：

ax0+my0=gcd(a,m)$$a{x}_0+m{y}_0=gcd(a,m)$$

於是很容易得到x$x$ 的一個特解爲：

x=x0⋅bgcd$$x=x_0\cdot \frac{b}{gcd}$$

顯然x$x$ 有無窮多解，如果考慮在模m$m$ 的意義下，x$x$ 也有gcd$gcd$ 個不同的解，且成等差數列，公差爲m/gcd$m/gcd$ 。因此很容易求得最小正整數解爲：

x=x0⋅bgcdmodmgcd$$x=x_0\cdot \frac{b}{gcd}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}}$$

考慮方程

9x≡6(mod12)$$9x\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12)$$

根據擴展的歐幾里德算法有：

9x0+12y0=3$$9x_0+12y_0=3$$

得到x0$x_0$ 的一個解爲11，所以x$x$ 的一個解爲22，對4取模即可得到最小正整數解2，且在模12的意義下有3個解，分別是2、6、10。

兩個線性同餘方程合併

考慮2個線性同餘方程構成的方程組：

{x≡r0(modm0)x≡r1(modm1)$$\{\begin{array}{l}x\equiv r_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_0)\\ x\equiv r_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\end{array}$$

分別等價於

{x=r0+m0z0x=r1+m1z1$$\{\begin{array}{l}x=r_0+m_0{z}_0\\ x=r_1+m_1{z}_1\end{array}$$

因此有

m0z0=m1z1+r1−r0$$m_0{z}_0=m_1{z}_1+r_1-r_0$$

兩邊對m2$m_2$ 取餘數即可得到一個單獨的關於z0$z_0$ 線性同餘方程

m0z0≡r1−r0(modm1)$$m_0{z}_0\equiv r_1-r_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$$

根據之前的結論，很容易判斷是否有解並可以解出z0$z_0$ 。如果可解，可以得到一個方程：

x≡m0z0+r0(modlcm(m0,m1))$$x\equiv m_0{z}_0+r_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm(m_0,m_1))$$

該方程與原方程組等價。其中lcm$lcm$ 爲最小公倍數。
如此反覆，就可以將線性同餘方程組合併爲一個方程，並且利用擴展的歐幾里德算法求解。在每一步中，均需判斷是否有解。

typedef long long int llt;
//to convert two congruence equations to equivalent one
//x = r1 (mod m1)
//x = r2 (mod m2)
//the out put is:  x = r3 (mod m3)
//return true if there is a solution, otherwise false
bool mergeCrt(llt r1,llt m1,llt r2,llt m2,llt&r3,llt&m3){
    llt x,y;
    llt g = exEuclid(m1,m2,x,y);
    llt r = (r2 - r1) % m2;
    if ( r < 0 ) r += m2;

    if ( r % g ) return false;//no solution

    x = r / g * x % ( m2 / g );//the least positive solution

    m3 = m1 / g * m2; //lcm
    r3 = ( ( x * m1 ) % m3 + r1 ) % m3;
    return true;
}

//Chinese remainder theorem to solve linear congruence equations
//n is the count of equations
//remainder is the array of remainders, index from 0
//mod is the array of modules, index from 0
//return the least positive solution or -1 if there is no solution
llt Crt(int n,llt const remainder[],llt const mod[]){
    llt r1 = remainder[0],m1 = mod[0];
    for(int i=1;i<n;++i){
        if ( !mergeCrt(r1,m1,remainder[i],mod[i],r1,m1) ){
            return -1;
        }
    }

    r1 %= m1;
    if ( r1 < 0 ) r1 += m1;
    return r1;
}

完整的程序可以見POJ2891