歐幾里德算法與擴展的歐幾里德算法及乘法逆元

以下提到的數都是整數。

歐幾里德算法

歐幾里德算法用於求解最大公倍數，也就是輾轉相除法。其結論非常簡潔，對任意整數a$a$ 、b$b$ ，有：

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$$

其中，%代表取模運算，也就是C++語言中的運算符。因此，歐幾里德算法實現起來也非常簡單。

typedef long long int llt;
llt gcd(llt a,llt b){
    while( b ){
        llt r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

遞歸實現更加簡潔。

typedef long long int llt;
llt gcd(llt a,llt b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

實際使用時，只需注意a$a$ 、b$b$ 取負值的情況，此時gcd有可能計算出一個負數。

擴展的歐幾里德算法

擴展的歐幾里德算法是指對任意整數a$a$ 、b$b$ ，必然存在整數對x$x$ 、y$y$ ，使得：

ax+by=gcd(a,b)$$ax+by=gcd(a,b)$$

這裏注意一條，x$x$ 、y$y$ 不是唯一的，存在無窮多對數滿足上述等式。考慮a=8,b=12$a=8,b=12$ 的情況，則有：
8⋅(−1)+12⋅1=4$8\cdot (-1)+12\cdot 1=4$
8⋅(−4)+12⋅3=4$8\cdot (-4)+12\cdot 3=4$
⋯$\cdots$

擴展的歐幾里德算法使用遞歸實現也非常簡單：

llt exEuclid(llt a,llt b,llt&x,llt&y){
    if ( 0 == b ){
        return x=1,y=0,a;
    }
    llt r = exEuclid(b,a%b,x,y);
    llt t = x;
    x = y, y = t - a/b*y;
    return r;
}

迭代實現稍微複雜一點點。

typedef long long int llt;
llt exEuclid(llt a,llt b,llt&x,llt&y){
    llt x0 = 1, y0 = 0;
    llt x1 = 0, y1 = 1;
    x = 0; y = 1;
    llt r = a % b;
    llt q = ( a - r ) / b;
    while( r ){
        x = x0 - q * x1;
        y = y0 - q * y1;
        x0 = x1; y0 = y1;
        x1 = x; y1 = y;
        a = b; b = r; r = a % b;
        q = ( a - r ) / b;
    }
    return b;
}

乘法逆元

使用擴展的歐幾里德算法可以很方便的求出乘法逆元。如果a$a$ 、b$b$ 的乘積對p$p$ 的餘數爲1，則稱b$b$ 在模p$p$ 的意義下是a$a$ 的逆元。顯然逆元是相互的。對任意非零a$a$ 當且僅當a,p$a,p$ 互質，a$a$ 的逆元存在。
已知a,p$a,p$ ，求x$x$ ，使得a⋅x≡1（modp)$a\cdot x\equiv 1（\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 成立。
原方程等價於ax+py=1$ax+py=1$ ，如果a,p$a,p$ 互質，則可以使用擴展的歐幾里德算法求出x$x$ 。

//returns the inverse of a mod p satisfied with 1 == ax%p
//it will be success only when a and p are co-prime
inline llt inv(llt a,llt p){
    llt x,y;
    llt r = exEuclid(a,p,x,y);
    if ( r != 1 ) return 0;
    x = x % p;
    if ( x < 0 ) x += p;
    return x;
}