ADC信噪比計算公式

ADC信噪比計算公式

信噪比計算公式：SNRADC=6.02+1.76$SN{R}_{ADC}=6.02+1.76$
上面的公式是我們經常見到的ADC信噪比計算公式，至於公式爲什麼而來，度娘雖然給出了一些解答，但是這些解答支離破碎，有些問題細節並不豐富，最近在讀書的過程中發現書中一章對於該問題的描述以及講解及其詳細，下面只做簡單介紹，作爲對其他公開資料的補充，有興趣的同學請自行翻閱該著作（12.5 & C.1）。

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信噪比

信噪比的定義爲信號功率比噪聲功率，由於自然空間的信號衰減呈指數倍，所以通常所遇到的功率也都是通過相對比值進行表示的，因此信噪比也通常通過分貝dB來表示。
信噪比定義：

SNR=10⋅lgPsignalPnoise$$SNR=10\cdot \lg \frac{P_{signal}}{P_{noise}}$$

對於本文所討論的ADC信噪比同樣適用，這裏適用一個概念，即：

P=k⋅V2$$P=k\cdot V^2$$

功率正比於電壓，則可以信噪比公式可以簡化成

SNR=10⋅lgV2signalV2noise$$SNR=10\cdot \lg \frac{V_{signal}^2}{V_{noise}^2}$$

ADC信噪比

對於ADC來說，V2signal⇒σ2signal$V_{signal}^2\Rightarrow {\sigma }_{signal}^2$
從數學角度上來說，功率等價於電壓信號的方差，對於此處心存疑惑的同學可以查閱上文提到的資料P486-488，經過上述的物理到數學概念的等價，可得到如下的公式：

SNR=10⋅lgσ2signalσ2noise$$SNR=10\cdot \lg \frac{{\sigma }_{signal}^2}{{\sigma }_{noise}^2}$$

其中σ2noise${\sigma }_{noise}^2$ 爲量化誤差，對於量化誤差的計算，《數字信號處理——基於計算機的方法（第四版）》當中有消息的描述，本文直接引用，感興趣的同學請自行查閱。

σ2noise=2−2n(R2fullscale)48$${\sigma }_{noise}^2=\frac{2^{-2n}(R_{fullscale}^2)}{48}$$

帶入SNR公式化簡可得到：

SNR=10⋅lg48⋅σ2signal2−2n(R2fullscale)$$SNR=10\cdot \lg \frac{48\cdot {\sigma }_{signal}^2}{2^{-2n}(R_{fullscale}^2)}$$

=6.02n+16.81−20⋅lgRfullscaleσsignal$$=6.02n+16.81-20\cdot \lg \frac{R_{fullscale}}{{\sigma }_{signal}}$$

對於σ2signal${\sigma }_{signal}^2$ ，爲輸入信號的方差，在通常的ADC計算當中採用的幾種不同信號，如果使用正弦信號計算，將得到本文開頭所提到的信噪比公式，如果採用其他信號模型，則得到類似但是不同於文章開頭的信噪比公式。假如我們使用均勻密度函數：

psignal(α)={1b−a,a⩽α⩽b0,  others$$p_{signal}(\alpha )=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a},a⩽\alpha ⩽b\\ 0,others\end{array}$$

該隨機變量的方差爲

σ2signal=(b−a)212$${\sigma }_{signal}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

其中b-a即爲ADC的滿量程範圍，即能夠完成轉換的電壓信號範圍
將上式帶入到上文當中化簡後的信噪比公式當中，得到對於均勻分佈的輸入信號來說，ADC的信噪比爲

SNRuniform density=6.02n+16.81−20⋅lg23–√$$SN{R}_{uniformdensity}=6.02n+16.81-20\cdot \lg 2\sqrt{3}$$

=6.02⋅(n+1)$$=6.02\cdot (n+1)$$

與度娘所檢索出的其他解釋不通，該推導最終得出了類似但是不同的結果，這是因爲所使用的輸入信號概率模型不同，對於其他的確定的輸入信號類型來說，也將會得到不同的信噪比結果，比如說正態分佈，亦或者其他能夠確定概率分佈的輸入信號類型。

最後，歡迎大家提出修改建議。

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