Given an integer array nums, find the sum of the elements between indices i and j (i ≤ j), inclusive.
The update(i, val) function modifies nums by updating the element at index i to val.
給定一個整型數組,找出數組下標i到j的元素的和。
給定一個更新操作,update(i,val)將第i個元素更新爲val。
Example:
Given nums = [1, 3, 5] sumRange(0, 2) -> 9 update(1, 2) sumRange(0, 2) -> 8
Note:
The array is only modifiable by the update function.
You may assume the number of calls to update and sumRange function is distributed evenly.
數組只能被update方法更改。
假設update和sumRange被均勻調用。
首先嚐試用數組sums的第i個元素存儲[0:i]的和,這樣的話:sumRange的時間複雜度爲O(1),由於每次update(i,val)都要更新下標i之後的sums,所以時間複雜度爲O(n),由於update和sumRange被均勻調用,所以整個操作的時間複雜度爲O(n);另外需要n個元素的存儲空間。
這樣的話,不出意外的TLE了。
考慮用二叉樹存儲部分和。
構造一個完全二叉樹,最後一層存儲原始數組元素,其餘每一層存儲下一層對應左右孩子節點之和,使用二維數組tree[][]存儲這顆完全二叉樹,tree[0]存儲原始數組,tree[i][j]存儲tree[i-1][j*2]和tree[i-1][j*2+1]之和,其中i>0,j>=0;
sumRange(i,j)的求法:
由於i<=j,所以只需要同時從tree[0][i]和tree[0][j]向上遍歷到最近的共同祖先節點pf即可,搜索過程中以s1記錄以pf爲根的這棵樹中i之前所有元素之和,以s2記錄j之前所有元素之和,最後結果就是:s2-s1+tree[0][i];
s1的更新方法:
若當前遍歷的節點i'爲父節點i''的右孩子,則另s1加上i''左孩子的值;若爲左孩子則不需要更新;
s2的更新方法:
若當前遍歷的節點j'爲父節點j''的右孩子,則另s2加上j''左孩子的值;若爲左孩子則不需要更新;
update(i,val)的操作:
依次按tree[0][i],tree[1][i/2],...的順序一直更新到根節點即可;
複雜度:
sumRange和update最多遍歷次數均爲logn次,空間複雜度爲O(n);
class NumArray { private: vector<vector<int>> tree; int rows, cols; public: NumArray(vector<int> &nums) { int r = 0, c = nums.size(); if ((cols = c) == 0) { rows = 0; return; } tree.push_back(nums); while (1) { int size = tree[r].size(); if (size == 1) break; vector<int> sums; for (int i = 0;i < size;i += 2) { if (i + 1 < size) sums.push_back(tree[r][i] + tree[r][i + 1]); else sums.push_back(tree[r][i]); } tree.push_back(sums); ++r; } rows = r + 1; } void update(int i, int val) { int delta = val - tree[0][i]; for (int j = 0;j < rows;++j) { tree[j][i] += delta; i = i / 2; } } int sumRange(int i, int j) { if (i < 0 || i >= cols || j < 0 || j >= cols) return 0; int r, s1, s2, i0, i_, j_; r = 0; s1 = tree[r][i]; s2 = tree[r][j]; i0 = i; while (i != j) { i_ = i / 2; j_ = j / 2; if (i_ * 2 + 1 == i) // i is the right child of his parent { s1 += tree[r][i - 1]; } if (j_ * 2 + 1 == j) // j is the right child of his parent { s2 += tree[r][j - 1]; } ++r; i = i_; j = j_; } return s2 - s1 + tree[0][i0]; } };