程序員面試題精選100題(10)－在排序數組中查找和爲給定值的兩個數字

題目：輸入一個已經按升序排序過的數組和一個數字，在數組中查找兩個數，使得它們的和正好是輸入的那個數字。要求時間複雜度是O(n)。如果有多對數字的和等於輸入的數字，輸出任意一對即可。

例如輸入數組1、2、4、7、11、15和數字15。由於4+11=15，因此輸出4和11。

分析：如果我們不考慮時間複雜度，最簡單想法的莫過去先在數組中固定一個數字，再依次判斷數組中剩下的n-1個數字與它的和是不是等於輸入的數字。可惜這種思路需要的時間複雜度是O(n²)。

我們假設現在隨便在數組中找到兩個數。如果它們的和等於輸入的數字，那太 好了，我們找到了要找的兩個數字；如果小於輸入的數字呢？我們希望兩個數字的和再大一點。由於數組已經排好序了，我們是不是可以把較小的數字的往後面移動 一個數字？因爲排在後面的數字要大一些，那麼兩個數字的和也要大一些，就有可能等於輸入的數字了；同樣，當兩個數字的和大於輸入的數字的時候，我們把較大 的數字往前移動，因爲排在數組前面的數字要小一些，它們的和就有可能等於輸入的數字了。

我們把前面的思路整理一下：最初我們找到數組的第一個數字和最後一個數字。當兩個數字的和大於輸入的數字時，把較大的數字往前移動；當兩個數字的和小於數字時，把較小的數字往後移動；當相等時，打完收工。這樣掃描的順序是從數組的兩端向數組的中間掃描。

問題是這樣的思路是不是正確的呢？這需要嚴格的數學證明。感興趣的讀者可以自行證明一下。

參考代碼：

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find two numbers with a sum in a sorted array
// Output: ture is found such two numbers, otherwise false
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
bool FindTwoNumbersWithSum
(
      int data[],           // a sorted array
      unsigned int length, // the length of the sorted array     
      int sum,              // the sum
      int& num1,            // the first number, output
      int& num2             // the second number, output
)
{

      bool found = false;
      if(length < 1)
            return found;

      int ahead = length - 1;
      int behind = 0;

      while(ahead > behind)
      {
            long long curSum = data[ahead] + data[behind];

            // if the sum of two numbers is equal to the input
            // we have found them
            if(curSum == sum)
            {
                  num1 = data[behind];
                  num2 = data[ahead];
                  found = true;
                  break;
            }
            // if the sum of two numbers is greater than the input
            // decrease the greater number
            else if(curSum > sum)
                  ahead --;
            // if the sum of two numbers is less than the input
            // increase the less number
            else
                  behind ++;
      }

      return found;
}

擴展：如果輸入的數組是沒有排序的，但知道里面數字的範圍，其他條件不變，如和在O(n)時間裏找到這兩個數字？

 

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擴展問題是不是先記數排序再用原來的方法？

如果是這樣的話，設數字範圍是d，則時間複雜度應該是O(max(d,n))

是這個思路。如果記最小值爲min，最大值爲max。新建一個長度爲max-min+1的數組。初始化這個數組的每個元素爲0。掃描原數組每個元素k，在新數組中下標爲k-min的位置加1，這樣在O(n)的時間內把原數組轉換爲一個排好序的數組。接下來的做法一樣。

當然，時間複雜度標記爲O(max(d,n)) 更準確一些。謝謝指出。