組合數

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組合數並不陌生(´・ω・`)

我們都學過組合數

 

會求組合數嗎

 

一般我們用楊輝三角性質

楊輝三角上的每一個數字都等於它的左上方和右上方的和（除了邊界）

 

第n行，第m個就是，就是C(n, m) （從0開始）

 

電腦上我們就開一個數組保存，像這樣

 

 

 

用遞推求

#include<cstdio>
const int N = 2000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
void init(){
    for(int i = 0; i < N; i ++){
        comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j ++){
            comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
            comb[i][j] %= MOD;
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

 

（PS：大部分題目都要求求餘，而且大部分都是對1e9+7這個數求餘）

這種方法的複雜度是O(n^2)，有沒有O(n)的做法，當然有(´・ω・`)

 

因爲大部分題都有求餘，所以我們大可利用逆元的原理（沒求餘的題目，其實你也可以把MOD自己開的大一點，這樣一樣可以用逆元做）

 

根據這個公式

我們需要求階乘和逆元階乘

 我們就用1e9+7來求餘吧

 

代碼如下：

#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int F[N], Finv[N], inv[N];//F是階乘，Finv是逆元的階乘 
void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
    F[0] = Finv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++){
        F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
        Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
    }
}
int comb(int n, int m){//comb(n, m)就是C(n, m) 
    if(m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
}
int main(){
    init();
}