一、康託展開運算
把一個整數X展開成如下形式： X = an * (n - 1)! + an-1 * (n - 2)! + … + ai * (i - 1)! + … + a2 * 1! + a1 * 0! 其中，ai爲整數，並且0 <= ai < i，1 <= i <= n)。 ai表示原數的第i位在當前未出現的元素中是排在第幾個。
康託展開的最基本應用就是求一個排列（按字典序）的序號（即第幾個）。而其逆運算就是求序號對應的排列。
二、例子
例1：n = 3時，即三位數字的全排列，321的序號是多少？
方法一： 1 2 3這三個數按字典序來進行排列，得：
123 132 213 213 312 321
這裏可以看出321是第6個數。
方法二： 321的第一位是3，則第一位小於3的數一定排在321的後面，這樣的排列有22！個。 321的第二位是2，則第一位等於3第二位小於2的數一定排在321的後面，這樣的排列有11!個。 321的第三位是1，則第一位爲3第二位爲2第3位小於1的數一定排在321的後面，這樣的排列有0個。 所以排在321前面的數有2 * 2! + 1 * 1! = 5個。321是第5 + 1 = 6個數。
例2：對於n = 3的全排列，第6個數是多少？
分析： 現將序號減去1，爲5。 5/2！=2餘1，說明比第一位數小的數有2個，那麼第一位肯定爲3。 上一步的餘數/1! = 1/1!=1餘0，說明比第二位小的數有1個，那麼第二位肯定是2。 第三爲只能爲1了。 所以第6個數是321。
例3：n = 4的全排列中，1324是第幾個數？
1324的第一位是1，小於1的數有0個，所以總共有 0 * 3! = 0個。 1324的第二位是3，小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，所以只有一個數2。再考慮第三位和第四位的排列數爲2!，所以共有 12! = 2個。 1324的第三位是2，小於2的數是1，但1已經排在第一位了，所以有0個數 。 01! = 0。 所以比1324小的排列有0 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! = 2個。 綜上，1324是的序號爲2 + 1 = 3。
例4：對於n = 6的全排列，153426的序號是多少？再往後數200個，得到的數是多少？
① 153426的第一位數是1，比1小的數有0個，共有0 * 5！= 0個。 153426的第二位數是5，比5小的數有4個，但是1已經出現在首位了，所以只有2，3，4這三個。共有3 * 4！= 72個。 153426的第三位數是3，比3小的數有2個，但是1已經出現在首位了，所以只有2這1個。共有1 * 3！= 6個。 153426的第四位數是4，比4小的數有3個，但是1和3已經出現在首位和第三位了，所以只有2這1個。共有1 * 2！= 2個。 153426的第五位數是2，比2小的數有1個，但是1已經出現在首位了，所以共有0 * 1！= 0個。 153426的第六位數是6，比6小的數有5個，但是這5個數已經被前五位數佔了，所以共有0 * 0！= 0個。 綜上，153426排在第72 + 6 + 2 + 1 = 81個。
② 第81個再往後數200個，就是第281個。 首先將281減去1，即280。 第一位爲280 / 5! = 2餘40，說明比第一位數小的數有2個，則第一位數必爲3 上一步的餘數 / 4! = 40 / 4! = 1餘16，說明比第二位數小的數有1個，第二位數必爲2。 上一步的餘數 / 3! = 16 / 3！= 2餘4，說明比第三位數小的數有2個。在前兩位數是3和2的前提下，第三位只能爲5，這樣比它小的兩個數爲1或4。 上一步的餘數爲 4/ 2! = 2餘0 ，說明比第四位數小的數有2個。因爲前三位數分別爲3、2、5，則第四位數必爲6。 上一步的餘數爲 0/1! = 0餘0 ，說明比第五位數小的數有0個，則第五位數必爲1。 剩下一位數爲4。 綜上，153426往後數的第200個數是325614。