【POJ3417】Network【LCA】【差分】

題目大意：

題目鏈接：http://poj.org/problem?id=3417
一個$n$個結點的樹加入了$m$條邊。求刪除一條原邊和一條新邊把這個圖拆成兩個部分的方案數。

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思路：

對於後面的$m$條新邊，我們可以把每一條原邊加入一個邊權（初始爲$0$），對於每次加入的新邊$(x,y)$，我們就將樹上從$x$到$y$的路徑的邊權加$1$。最終求答案時枚舉所有的邊：

• 如果邊權爲$0$，那麼刪除這條邊之後樹就被分成了兩個不相鄰的部分。那麼此時刪除任意一條邊都滿足分成兩個部分。$ans+=m$
• 如果邊權爲$1$，那麼刪除包含這條邊的新邊（有且僅有一條）就可以滿足分成兩個部分。$ans++$
• 如果邊權大於$1$，無論如何都不可以滿足要求。

那麼我們就得到了一個$O(nm)$的算法。

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關於優化

記得差分嗎？
我們每次將新邊$(x,y)$之間的每一條邊的權值加$1$，其實是可以利用樹上差分的方法來$O(1)$搞出來的。
對於新邊$(x,y)$，我們將$s[x]++,s[y]++，s[lca(x,y)]-=2$。然後跑一遍$DFS$，求出每一點$s[x]$表示它與父節點之間的邊被覆蓋的次數。
時間複雜度$O(n+m)$

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代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; 
typedef long long ll;

const int N=100010;
const int LG=20;
int n,m,x,y,tot,head[N],s[N],f[N][LG+1],dep[N];
ll ans;

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

void dfs1(int x,int fa)
{
	dep[x]=dep[fa]+1;
	f[x][1]=fa;
	for (int i=2;i<=LG;i++)
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int y=e[i].to;
		if (fa==y) continue;
		dfs1(y,x);
	}
}

int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=LG;i>=1;i--)
		if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=LG;i>=1;i--)
		if (f[x][i]!=f[y][i])
			x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][1];
}

int dfs2(int x,int fa)
{
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int y=e[i].to;
		if (fa==y) continue;
		s[x]+=dfs2(y,x);
	}
	if (x!=1)
	{
		if (s[x]==0) ans+=(ll)m;
		if (s[x]==1) ans++;
	}
	return s[x];
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	dfs1(1,0);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		s[x]++;
		s[y]++;
		s[lca(x,y)]-=2;
	}
	dfs2(1,0);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}