線性時不變系統（LTI）對復指數信號的響應

目錄

序言

一類重要的基本信號

線性時不變系統對復指數信號的響應

特徵函數以及特徵值定義：

證明覆指數信號是LTI系統的特徵函數

簡單運用上述性質

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序言

復指數信號有相比於其他信號優良的性質，這使得其在數字信號處理以及信號與系統中（統稱爲信號處理）具有不一般的低位，例如復正弦信號

它不僅是離散信號做傅里葉變換時的基函數，同時也是線性時不變系統的特徵信號。

看了一下內容後，你就會懂得上面的描述！

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一類重要的基本信號

在研究線性時不變系統時，將信號表示成基本信號的線性組合是很有利的，這些基本信號應該滿足下面的兩個性質：

1、由這些基本信號能夠構成相當廣泛的一類有用信號；

2、線性時不變系統對每一個基本系統的響應應該十分簡單，以使系統對任意輸入信號的響應有一個很方便的表達式。

那什麼樣的基本信號滿足上面的條件呢？

由傅里葉分析可知，連續和離散時間復指數信號集都具有上述兩個性質，即連續時間的和離散時間的，其中s和z都是複數。

線性時不變系統對復指數信號的響應

基於如下事實：

一個線性時不變系統對復指數信號的響應也是同樣一個復指數信號，不同的只是幅度上的變化。

連續以及離散時間復指數信號的響應分別是：

其中，是復振幅因子，一般來說是復變量s以及z的函數，但是對於變量t來說，它等價於一個常數。

這就說明了，復指數信號經過線性時不變系統的響應是它本身，即同樣也是一個復指數信號，只不過幅度上有所變化。

特徵函數以及特徵值定義：

一個信號，若系統對該信號的輸出響應僅是一個常數（可能是複數）乘以輸入，則稱該信號爲系統的特徵函數（eigenfunction），而幅度因子稱爲系統的特徵值（eigenvalue）。

證明覆指數信號是LTI系統的特徵函數

下面證明覆指數信號確實是LTI系統的特徵函數，也就是說復指數信號作爲LTI系統的激勵，其響應也是復指數信號。

手稿：

首先是連續復指數信號，求其經過線性時不變系統的輸出，假設線性時不變系統的系統函數爲

這就證明了連續復指數信號是LTI系統的特徵函數，而常數就是與特徵函數有關的特徵值。

下面證明離散復指數信號是LTI系統的特徵函數：

同樣證明了離散復指數信號是LTI系統的特徵函數，常數H(z)是與特徵函數有關的特徵值。

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簡單運用上述性質

既然，復指數信號作爲LTI系統的輸入，其輸出有這麼簡便的表示方法，真是造福科學呀！

我們不禁設想如果一個信號都可以表示成復指數信號，那麼其輸出豈不很簡單？事實上也是如此，但多大範圍的信號可以用復指數的線性組合來表示呢？

（我們將由這個思路來引出下一篇博文，週期信號的傅里葉級數表示，任意一個週期信號還真能表示成復指數信號的組合形式！）

下面以手稿的形式，展示上面敘述的簡單運用（模擬情況）：

離散的情況如下：

這其中的都是複數。

這就說明：

對於連續時間以及離散時間來說，如果一個線性時不變系統的輸入能夠表示成復指數信號的線性組合，那麼系統的輸出也能夠表示成相同復指數信號的線性組合；並且在輸出表示式中的每一個係數可以用輸入中響應的係數分別與特徵函數有關的系統特徵值相乘來求得。