HDU4602 Partition （神奇的計算方式）

題目描述：

$4=1+1+1+1\\~~~=1+1+2\\~~~=1+2+1\\~~~=2+1+1\\~~~=1+3\\~~~=3+1\\~~~=4$
上述對正整數4的拆分中1出現了12次，現給出$n,k\le10^9$，求對n的拆分中數字k出現的次數
多組數據，T<=10000

題目分析：

首先，對一個數n的所有拆分方案總共有$2^{n-1}$種，相當於在n相同的小球中插入p塊隔板(p=0,1,2…n-1)，那麼總方案數爲$C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+\cdots +C_{n-1}^{n-1}=(1+1)^{n-1}=2^{n-1}$
由於k在同一個拆分中可能出現多次，不好處理，我們先考慮只計算一次的情況

• n<k 輸出0

• n=k 輸出1

• n=k+1 輸出2

• n>k+1
  這時k倘若在靠左邊的位置，則右邊的數隨意拆分，數量爲$2^{n-k-1}$，k靠右同理
  倘若k在中間，則有n-k-1個位置可選，設兩邊的數爲t1,t2，則拆分方案數爲$2^{t1-1}*2^{t2-1}=2^{n-k-2}$
  總的加起來就是$2^{n-k}+(n-k-1)*2^{n-k-2}=(n-k+3)*2^{n-k-2}$種

  但是，此時我們只求出了一個k的情況，同一種拆分中k出現多次怎麼辦？
  其實思考一下，問題已經無意中解決了，若同一種拆分中有p個k，那麼這種拆分就會被統計到p次，因爲我們並沒有管除了當前的k之外其他地方還會不會出現k，舉個例子：
  $8=1+$ $\color{red}2$ $+$ $\color{green}2$ $+$ $\color{blue}2$ $+1$ 這種拆分中，在$\color{red}2$，$\color{green}2$，$\color{blue}2$時各統計了一次，係數問題已經解決了

總結一下，有些時候統計問題的去重操作其實很簡單，對稱的感覺很重要
比如這道題，看似會算重的統計方式實際上把次數也求出來了。

PS：要是在考場上，直接列表格：
$\begin{array}{c|ccccc} n,k&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5\\\hline 1&amp;1\\ 2&amp;2&amp;1\\ 3&amp;5&amp;2&amp;1\\ 4&amp;12&amp;5&amp;2&amp;1\\ 5&amp;28&amp;12&amp;5&amp;2&amp;1 \end{array}$
很容易發現只跟n-k的大小有關

#include<cstdio>
const int mod = 1e9+7;
int ksm(int a,int b)
{
	int s=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) s=1ll*s*a%mod;
	return s;
}
int main()
{
	int T,n,k;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		if(n<k) puts("0");
		else if(n<=k+1) printf("%d\n",n-k+1);
			else printf("%d\n",1ll*(n-k+3)*ksm(2,n-k-2)%mod);
	}
}