快速冪
快速冪的快速是和傳統的自乘求冪方法相比較的“快”。快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是O(b)也即是O(n)級別，快速冪能做到O(logn)，快了好多好多。
舉例：
假設我們要求a^b，那麼其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權爲2^(i-1)，例如當b==11時，a^11=a^(2^0+2^1+2^3)
11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化爲算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次。
快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾次老是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。
首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是O(b)也即是O(n)級別，快速冪能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：
假設我們要求a^b，那麼其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權爲2^(i-1)，例如當b==11時
a11=a(2^0+2^1+2^3)
11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化爲算 a2^0*a2^1*a2^3，也就是a1*a2*a8
，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次，但是這三項貌似不好求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。
由於是二進制，很自然地想到用位運算這個強大的工具：&和>>
&運算通常用於二進制取位操作，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0爲偶，x&1==1爲奇。
>>運算比較單純,二進制去掉最後一位，不多說了，先放代碼再解釋。
1 int poww(int a, int b) {
2 int ans = 1, base = a;
3 while (b != 0) {
4 if (b & 1 != 0)
5 ans *= base;
6 base *= base;
7 b >>= 1;
8 }
9 return ans;
10 }
代碼很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11爲例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。
其中要理解base*=base這一步：因爲 base*base==base2，下一步再乘，就是base2*base2==base4，然後同理 base4*base4=base8，由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指數正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a1*a2*a8，這三項就可以完美解決了，快速冪就是這樣。