計算期權的價值有許多種方法，但萬變不離其宗，核心原理都是將未來現金流的各種情況按照其發生的概率折現。首先看看BSM模型和隱含波動率的問題。
BSM期權價格計算公式
BSM模型假設：
1、股價隨機波動並服從正態分佈；(特別不符合現實）
2、期權有效期內，Rf和E(r)和價格波動率恆定；(特別不符合現實）
3、市場無摩擦，沒有交易成本及稅收；
4、股票資產在期權有效期內不分紅；
5、適用於歐式期權；
6、沒有無風險套利的機會；
7、交易是連續的，非離散；
8、沒有賣空限制。
簡單而言，看漲期權的價值等於股價與執行價格的差額，即C = S - X。
我們不知道未來股價S，所以用S0代替，現在的S0與未來的S之間需要乘以正態分佈的累積概率，即N（d1）。
我們知道未來的執行價格X，但爲了求現在的期權價值，則需減去的其實是X的現值。因此X需要乘以 e的-rT次方。同時，由於行權並不一定會發生，因此需要再乘以執行的概率N(d2)，即S大於等於X的概率。
隱含波動率與歷史波動率
波動率越大，可選擇權越大，期權的價值越大。
implied vol意義是按照實際期權價格倒推出來的波動率，表示市場的觀點。隱含波動率越大，表示預期的波動率越大。
歷史波動率的意義是根據過往的股價數據，求出的股價波動率，代表了歷史的真實情況。
隱含波動率的計算
使用牛頓迭代法近似求解非線性方程。根據C(St,K,t,T,r,σ) = C* 倒推出σ。公式如下：
對於一個一元二次方程，可用公式(x+a/x)/2來計算。比如求根號a，可以先假設x是其解，則計算 (x+a/x)/2，得到的結果x1繼續代入(x1+a/x1)/2，一直重複下去，即可得近似值。
一般化公式爲x1 = x0 - (f(x0)-0)/f'(x0)。其中的0其實是目標y的值，在求隱含波動率的時候，數值爲當前股價。
其中，f'(x0)其實就是Vega，其公式爲：
理解公式的計算步驟後，即可將其轉換成Python代碼，先導入期權的風險要素數據，然後計算Vega，然後代入牛頓迭代法的公式，進一步求出期權的隱含波動率，最後是可視化呈現。依照這個思路，可以藉助Python的計算能力，大大節約數據分析的時間。
刺蝟偷腥
2019年1月10日