卷積積分

卷積積分

本質：信號分解

f(t)分解成基本信號δ(t)ε(t)的線性組合

一個基本信號的響應知道了，那麼就可以求任意信號的響應

信號的時域分解

1.注意p(t)並不是δ(t)，p(t)表示的面積爲一，寬爲Δ，高爲1/Δ，但是δ(t)是Δ趨近於0。（注：p(t)是門函數，就是像一道門一樣,比如在一定定義域內值爲1,其他爲0。值爲1的定義域稱爲寬度,1就稱爲幅度。）

2.任意信號f(t)和p(t)關係，如果f(t)是個方波，而且寬爲Δ，高爲A，那麼f(t)=AΔp(t)，這裏其實就是f(t)的面積乘1，因爲p(t)面積爲一。

3.現在如果f(t)不是方波，它是個任意信號，此時我們可以把他切成一系列方波。第n塊的A=f(nΔ)，寬度爲Δ，而且第n塊的p(t)由於可能不在原點，需要平移，p(t-nΔ)，一塊方波的信號=f(nΔ)Δp(t-nΔ)，那麼所有的方波就是下面的，這裏n是整數
$F(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nΔ)Δp(t-nΔ)$
4.然後對Δ求極限，我們想，所有方波如果它Δ趨近於0，那麼它就變成了一個類似直線的東西，那麼整體來看，對方波的和來說，Δ趨近於0，就意味着，此時最終得到的正是我們那個任意的曲線。
$\lim_{Δ\to0}F(t)=f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)δ(t-\tau)d\tau$
5.取極限後，離散和變成連續和，求和變成積分。nΔ變成連續的，我們稱之爲τ，然後Δ變成dτ。p(t-nΔ)寬讀無窮小，高度無窮大，變成δ(t-τ)。

卷積公式

衝激響應性質:δ(t)->LTI零狀態->h(t)

時不變性：δ(t-τ)->LTI零狀態->h(t-τ)

齊次性:f(τ)δ(t-τ)->LTI零狀態->f(τ)h(t-τ)
$疊加性：\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)δ(t-\tau)d\tau->LTI零狀態->\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau$

$f(t)->LTI零狀態->y_{zs}(t)$

可見零狀態響應：
$y_{zs}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau$
如果我們定義新運算’’：
$y_{zs}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau=f(t)*h(t)$
我們稱爲卷積運算。

卷積積分定義

定義式：
$f(t)=f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau$
兩個函數卷積完之後是一個關於t的函數F(t)。τ是積分變量，t是參變量，積分完之後，結果仍是關於t的函數。（定義式永遠滿足）

積分限可演變成其他限：

1.f1(t)=f1(t)ε(t)，因果信號
$f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)ε(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{+\infty}f_{1}(\tau)ε(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau$
2.f2(t)=f2(t)ε(t)，此時只有t-τ>0即τ<t時，ε(t-τ)才爲1，其他都爲0.
$f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)ε(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)ε(t-\tau)d\tau$
3.f1(t)=f1(t)ε(t)，f2(t)=f2(t)ε(t)，此時積分限變爲0到t，是上面兩個的交集。
$f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{0}^{t}f_{1}(\tau)ε(\tau)f_{2}(t-\tau)ε(t-\tau)d\tau$

卷積積分圖解法：

可交換性，哪個翻轉簡單，哪個當作f2(t).

換元t變τ，翻轉平移相乘，根據圖形分類討論，討論的t是移動的變量，通過移動兩個函數圖像相交的情況判斷上下限，積分積的是f1(t)*f2(t-τ)，它可以寫成F(τ)的形式，最後是關於t的函數，因爲上下限包含了t。

分段求，積得是一個函數，只不過，他的上下限不同。確定上下限是關鍵，求某一時刻卷積值好求，這個直接求這個時刻重疊面積即可。

卷積就相當於對每一個變量t，計算兩個信號重疊的面積。

卷積的性質：

代數性質：
$交換律：f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$

$分配律：f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$

$結合律：f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]=[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)$

複合系統的衝激響應：

f(t)->h1(t)->h2(t)->yzs(t) 級聯：h(t)=h1(t)*h2(t)

串聯是兩個系統的輸出;級聯是第一個系統的輸出作爲第二個系統的輸入。

並聯：h(t)=h1(t)+h2(t)

奇異函數的卷積特性：
$f(t)*δ(t)=f(t)$

$f(t)*δ(t-t_0)=f(t)$

$f(t)*δ{}&#x27;(t)=f{}&#x27;(t)$

$f(t)*ε(t)=\int_{-\infty}^{t}f(τ)dτ$

卷積的微積分性質：

卷積的n階導數，等於對其中一個函數求n階導數再卷積另一個函數。
$\frac{d^{n}}{dt^{n}}[f_1(t)*f_2(t)]=\frac{d^{n}f_1(t)}{dt^{n}}*f_2(t)=f_1(t)\frac{d^{n}f_2(t)}{dt^{n}}$

$\int_{-\infty}^{t}[f_{1}(τ)*f_2(τ)]dτ=[\int_{-\infty}^{t}f_1(τ)dτ]*f2(t)=[\int_{-\infty}^{t}f_2(τ)dτ]*f1(t)$

$f_1(t)*f_2(t)=f_1{}&#x27;(t)*f_2^{-1}(t)$

最後這個式子有一個條件
$f_1{}&#x27;(-\infty)=0或者f_2^{-1}(+\infty)=0$
卷積的時移特性：
$若f(t)=f_1(t)*f_2(t)$

$則：f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f_1(t-t_1-t_2)*f_2(t)=f(t-t_1-t_2)$

也就是說，知道一個f(t)=f1(t)*f2(t)，那麼想要求f1(t-t1) *f2(t)，可以直接代換f(t)爲f(t-t1)。這就是卷積結果。注意這裏t是個整體，所有t都得變。

常用卷積重要公式

δ(t)ε(t)τ

$K*f(t)=K·[f(t)波形的淨面積值]$

$f(t)*δ(t)=f(t)$

$f(t)*δ&#x27;(t)=f&#x27;(t)*δ(t)=f&#x27;(t)$

$f(t)*ε(t)=f(t)*δ^{(-1)}(t)=f^{(-1)}(t)*δ(t)=f^{(-1)}(t)$

$ε(t)*ε(t)=tε(t)$

$e^{-a_1t}ε(t)*e^{-a_2t}ε(t)=\frac{1}{a_2-a_1}(e^{-a_1t}-e^{-a_2t})ε(t),(a_1\neq a_2)$

$e^{-at}ε(t)*e^{-at}ε(t)=t*e^{-at}ε(t),(a_1=a_2=a)$

$ε(t)*e^{-at}ε(t)=\frac{1}{a}(1-e^{-at})ε(t),(a_1=0,a_2=a)$

卷積求解方法

1.利用定義式：容易求積分的函數，指數函數，多項式函數
$f(t)=f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau$
2.圖解法，適合求某時刻點上的卷積值

3.性質，求個導數，求個積分，有δ(t)的話利用f(t)*δ(t)=f(t)就得到了。

4.常用公式後三個。

用梳狀函數卷積產生週期信號

梳狀函數：
$δ_T(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}δ(t-mT)$
由時移特性：
$f(t)*δ(t-t_0)=f(t-t_0)$
則有：
$f(t)*δ_T(t)=f(t)*\sum_{m=-\infty}^{\infty}δ(t-mT)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}f(t-mT)$
卷積的結果是一個週期信號，週期爲T

這裏如果T>f(t)的寬度，那麼在卷積後的信號的每個週期內的波形都與f(t)相同

但是如果T<f(t)的寬度，那麼各個相鄰脈衝將會出現重疊。首的一部分和尾的一部分疊加

矩形脈衝的卷積產生三角形和梯形脈衝

具體是用圖像法，兩個門函數上下限，分別討論。

兩個不同寬的門函數卷積，結果爲梯形函數，梯形的高爲窄門的面積，上底爲兩個門寬函數寬度之差絕對值，下底爲兩個門函數寬讀之和。

三角就是兩個門函數門寬相同。

自相關互相關函數定義

比較某信號與另一延時τ的信號之間的相似度引入相關函數，可用於鑑別信號，雷達識別，通信同步信號識別。相關函數被稱爲相關積分，與卷積運算類似。

互相關函數：
$R_{12}(τ)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)f_2(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t+\tau)f_2(t)dt$

$R_{21}(τ)=\int_{-\infty}^{\infty}f_2(t)f_1(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^{\infty}f_2(t+\tau)f_1(t)dt$

只用記住第一個，前面t領先後面t了τ。這是對t積分。

一般情況，R12(τ)不等於R21(τ)

R12(τ)=R21(-τ)

R21(τ)=R12(-τ)

R12(τ)意思就是，1比2超前了τ。R21(-τ)意思就是2比以超前了-τ，這倆意義是一樣的。只不過表達式不一樣。

這個信號和另一個信號的相似程度

自相關：
$R(τ)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t-\tau)dt$
這個信號和另外一個時間的這個信號的相似程度。

自相關函數是一個偶函數。

R(τ)=R(-τ)

相關與卷積

卷積開始需要先將f2(τ)反折爲f2(-τ),但是相關運算不需要。
$R_{12}(t)=f_1(t)*f_2(-t)$
若f1(t)和f2(t)均爲實偶函數，則卷積與相關形式完全相同。