進階貪心算法例解

本文章題目和算法本身來自《算法設計與分析》（屈婉玲版），黑書（劉汝佳），理解爲本人理解。如有補充或不同見解歡迎在下方留言區討論。

目錄

• 哈夫曼樹
• 最小生成樹：Prim
• 例：釣魚
• 例：照亮的山景
• 例：過河問題

哈夫曼樹

算法描述

爲獲得平均長度最短的編碼，不斷將字符集中使用頻率最小的兩個字符取出（不放回），合併成爲一棵子樹，將父節點作爲一個字符放回字符集，使其頻率爲兩個子節點的權值之和。這樣構造的樹是一棵提供最優編碼的樹，每一條從樹根到樹葉的路徑都是一個字符的編碼

核心問題

• 爲什麼每次要選取兩個頻率最小的字符（歸納基礎）
• 證明牽扯到樹的變化，而有關優化目標總是和樹的高度有關，有失一般性，怎樣處理？

試證

• 對於一個最優方案對應的二叉樹T，倘若我將頻率最低的兩個子節點放到最底層，那麼我就可以把它們合併，將二叉樹規模縮小，運用歸納假設構造一個最優解
• 倘若我可以知道合併節點之後前後兩棵樹的關係，我就可以把這步貪心決策和這棵新樹合併，證明它也有最優性。但首先需要先證明T合併之後的那棵樹也是個最優的樹

引理4.2

設$x, y$是最優二叉編碼樹T 中頻率最小的兩個葉子節點，與最底層兩個葉子節點$x$,y$交換後不會改變樹的最優性。顯然有：
$B(T)-B(T^{'})=[f(x)-f(a)][d_T(x)-d_T(a)]+[f(y)-f(b)][d_T(y)-d_T(b)]\ge 0$

引理4.3

$x, y$爲二叉樹T的兩片葉子，設將其合併後新樹爲$T^{'}$，則兩棵樹的關係爲：
$B(T)=B(T)+f(x)+f(y)$

正式證明

• 由於不是按步驟歸納而是按規模歸納，所以第一步不是最重要的推理
• $n=2$時結論顯然
• 假設$n=k$時成立。對於一棵有$n+1$個字符的二叉編碼樹，我們可以把兩片頻率最小的葉子$a,b$放到最下面而不影響最優性
• 將其合併成節點$s$獲得樹T’，則可以根據貪心算法用T‘的葉子節點的權值構造最優二叉編碼樹T*
• T’也是一棵最優二叉編碼樹，否則B(T’)>B(T*)，兩邊同時加f(a),f(b)，左邊變成B(T)，右面是將$a,b$填到$s$下面得到的新樹，顯然T的最優性失效，矛盾
• 所以把$a,b$填到$s$下面構成的新樹的平均編碼長度與最優編碼相等，它也是個最優編碼：使用貪心想法構成的最優編碼

套路總結

對於歸納問題規模型貪心，有以下套路：

• 對於規模爲$(n+1)$的問題，證明貪心操作所涉及的元素不會影響到最優性（如挪節點）
• 合併，縮小問題規模爲$T'$，用歸納假設：規模爲$n$時可用貪心構造$T^*$
• 證明$T'$也是最優解，因爲$T'$和$T^*$同規模，故展開後也同規模，故用貪心構造出的解對於$(n+1)$規模也是最優解

講的很抽象，💊多練習。

最小生成樹：Prim

算法綜述

• 將圖G的頂點分爲兩個集合：處理過的$S$和未處理過的$T-S$
• 選擇連接$S$和$T-S$的最短的邊$e$，並將$T-S$側的與$e$相連的點加入到$S$中
• 重複以上算法，直至$T-S$爲空

證明思路

• 與上一題不同，本題採用對貪心的步驟進行歸納，而非問題的規模
• 證明的關鍵在於第一步：使用第一步的證明作爲後續子問題的歸納基礎
• 通用思路：假設存在使第k步成立的最優方案，對於問題中剩下未處理的部分證明它必須用最優子問題的解法與前k步成立才能得到最終的最優方案
• 利用歸納基礎：子問題的第一步可以用貪心算法，故構造了一個包含前k+1步貪心決策的最優決策。

證明實戰

• 第一步必須是選擇權值最小的邊$e_1=(1, i)$，否則若使用的是$e_1^l, w(e_1^l)>w(e_1)$，在最終生成的樹$T$中若加入$e_1$則生成含$e_1, e_1^l$的圈，破除$e_1^l$後剩下的仍是一棵生成樹，但總長下降，與最優性矛盾
• 假設存在最小生成樹$T$包括前k步選擇的邊，構成了已處理點集$S$和未處理點集$V-S$,根據最小生成樹的定義，$T$的結構必須是$S$中已經出現的樹+將$S$看成一個大點後剩下點的生成樹合併的結果，運用第一步歸納假設即可證畢。

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例：釣魚

題目描述

在一條水平路邊，有$n(2\le n \le 25)$個釣魚湖，從左到右編號爲1、2、3、……、n.佳佳有$H(1 \le H \le 16)$個小時的空餘時間，他希望用這些事件釣到儘量多的魚。他從湖1出發，向右走，有選擇的在第$i+1$個湖邊停留一定的時間釣魚，最後在某一個湖邊結束釣魚。佳佳測出從第i個湖到第$i+1$個湖需要走$5*T_i$分鐘的路，還測出在在第$i$個湖邊停留，第一個5分鐘可以釣到魚$F_i$，以後再每釣5分鐘魚，魚量減少$D_i$，爲了簡化問題，佳佳假定沒有其他人釣魚，也不會有其他因素影響到他釣到期望數量的魚。請設計算法給出佳佳能釣到最多的魚的方案。

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問題抽取

• 變量太多了，行走時間，停留時間
• 湖比較少，我們枚舉最後停留的湖，把行走時間變成常量
• 問題中以5分鐘作爲基本單位，不妨把5去掉
• 行走時間爲常量，那問題等價爲佳佳可以瞬間移動

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貪心策略

• 在第$i​$分鐘瞬移到可以收穫最多魚的湖去抓魚，更新這個湖的抓魚量
• 第一步正確性顯然，若存在最優解包含前$k​$步選擇，則剩下的時間內也應是剩下時間內的最優選擇，故可用第一步構造處使用貪心算法的解與前$k​$步成立
• 證明較顯然故略去
• 最後不要忘記將$n$中情況合併

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複雜度

• 暴力枚舉各時刻可獲魚數最大值：$O(Hn^2)$
• 堆優化：$O(Hnlogn)$

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總結

感覺問題爲貪心解法時應注意控制可變量的個數，明確優化對象，方便思考

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例：照亮的山景

題目描述

在一片山的上空，高度爲$T$處有$N$個處於不同水平位置的燈泡。如果山的邊界上某一點與燈i的連線不經過山上的其他點，我們稱燈i可以照亮該點。開儘量少的燈，使得整個山景都被照亮

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優化對象選擇

• 選擇電燈？
• 區間是碎的，難以處理。（圖先欠着）

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如果向下看

• 所有的可行方案都照亮了所有的谷底
• 所有照亮所有谷底的方案都是可行方案（光路是可逆的）
• 能照亮一個谷底的燈必定是一個連續的區間（圖先欠着）

那我們直接以谷底優化對象好了

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算法綜述

• 對每一個谷底，預處理能將其照亮的所有燈泡區間
• 選擇最少的燈泡，使得每個區間中至少有一個燈泡被選中了（貪心）

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貪心決策（做有智商的莽夫）

• 顯然的決策：如果區間$I$包含了區間$J$，那麼考慮區間$I$的決策是無用的，因爲必有一點在$J$中，$I$自然滿足
• 只需討論所有部分重合和不重合的區間
• 莽夫：最左側的區間是最危險的區間，那麼就考慮它，選它最右面的點，以保證能照亮更多與它重合的區間，把這些被照亮的區間刪去

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證明

• 以步數做歸納，顯然莽夫的思考過程就是我們的決策基礎
• 若存在最優決策T包含前k步的決策，若再處理已選燈的區間是多餘的，去掉他們，應對後面的區間進行最優決策，而由歸納基礎得出存在以貪心決策開頭的方案使得其爲最優方案
• 都是一個套路。。。
• 時間複雜度：直接線性掃描，爲$O(n)$

例：潛泳比賽

題目描述

• 有一支由$N$人組成的潛水隊參與比賽，目標是全隊游到對岸。
• 潛水需氧氣筒，整隊只有一個氧氣筒。
• 氧氣筒可以兩人公用，但速度就是兩人中較慢者的速度。
• 任意兩人可以一同潛泳。
• 請設計最優方案，使得最後一名選手到達對岸的時間儘量早。

莽夫思路一

• 總需要一個人來把氧氣筒送回來，而遊得再快的人也會被遊得慢的人拖累，不妨就讓遊得最快的人來回送氧氣筒

莽夫思路二

• 如果讓最慢的兩個人一起過去，在對岸安排好送氧氣筒回來的人怎麼樣？
• 把最快的兩個人先送過去，讓他們充當搬運工

請計算

• 1、 2、 5、 6 、8、 9
• 1、 2、 2、 2、 2、 2

如果合併這兩種思路

• 這兩種思路的共同點，就是把最慢的兩個人送過去了，而對於不同的情況有不同的選擇
• 若將所有人按照過河時間升序排序成${a_1, a_2, ..., a_N}$，那麼易知如果$a_1+a_{N-1}-2a_2<0$時用算法1，反之用算法2，我們就能最快地把最慢的兩個人送到對岸去
• 這樣選擇研究的對象看起來和諧了一些

證明歸納基礎

• 歸納基礎：將最慢的兩個人先用最快的方式送過去，不會影響總時間
• 倘若存在最優策略不是這樣：最慢的兩個人要麼是一起過，要麼是拖累着別人過。
• 這兩個人如果是一起過的，那就得有人回來送氧氣筒。如果對面有人的話肯定不是他們兩個中的一個回來送氧氣筒。如果不是$a_1或a_2$回來送，把$a_1,a_2$調到前面去會更優。那不如把他們的過河順序都調到前面去
• 如果這兩個人是分開過的，那麼還是用$a_1$去送氧氣筒最快，那麼爲什麼不把順序調到前面呢？
• 完整證明思路與前面基本一樣，節省時間略去不提
• 說不太清楚，有更好的思路請到我的萬年不更的博客下留言討論

時間複雜度

• 只需線性掃描，$O(n)$結束

總結

!找好優化目標!

練：澆花問題

• 有一長方形花壇，在於其較長邊平行的中軸線上安放了若干水龍頭，每個水龍頭能澆到草地的半徑是已知的。
• 保證存在可以把所有草地都澆到的方案，請把其中一個選擇水龍頭最少的方案找出來