關於線性微分方程的求解
1.1 線性方程
首先講一下什麼叫線性方程，含有變量的最高次冪不超過1次的方程，允許0次的存在 。
eg. ax+by+cz+d=0;
@線性方程的本質是等式兩邊乘以任何相同的非零數，方程的本質都不受影響。
(1) y’前的係數不能含y，但可以含x，如:x*y'=2 是線性的； y*y'=2 不是線性的。
(2) y前的係數也不能含y，但可以含x，如：y'=sin(x)y 是線性的，y'=sin(y)y 是非線性的。
(3) 整個方程中，只能出現y和y’，不能出現sin(y)，y^2，y^3等等，如：y'=y 是線性的；y'=y^2 是非線性的。就是關於y的複合函數。
1.2 微分方程
就帶有自變量，未知函數和未知函數的導數的方程。比如y'=sinx , y"=y。
對於一階微分方程，形如：y' + p(x)y + q(x) = 0的稱爲"一階線性微分方程"。
對於二階微分方程，形如：y'' + p(x)y '+ q(x)y + f(x) = 0的稱爲"二階線性微分方程"。
1.3 齊次方程
1.方程中所有項的次數都相等。比如xy,x^2,y^2都是二次的。dy/dx、y/x和常數a都是0次的。比如y'=1+y/x.就是齊次方程。
2.形如 y" + p(x)y' + q(x)y = 0的方程稱爲“齊次線性方程”，這裏“線性”是指方程中每一項關於未知函數y及其導數y’,y’’,…的次數都是相等的（都是一次），“齊次”是指方程中沒有自由項（不包含y及其導數的項）.
方程 y" + p(x)y' + q(x)y = f(x)就不是“齊次”的，因爲方程右邊的項x不含y及y的導數，因而就要稱爲“非齊次線性方程”。
2 一階線性齊次微分方程
y’ + p(x)y = 0
一階微分dy/dx，線性y' + p(x)y = 0，齊次是方程不含自由項。
求解：
dy/dx = -p(x)y ;
dy/y = -p(x)dx ;
ln|y| = -∫p(x)dx + C ;
y=Ce^ -∫p(x)dx ;
3 一階線性非齊次微分方程
dy/dx + p(x)y = q(x)
一階微分dy/dx ,線性 y' + p(x)y - q(x) = 0，非齊次，含有不關於y的自由項。
求解：
利用**常數變易法**求一階線性非齊次微分方程的通解，是把一階線性非齊次微分方程的通解中C換成C(x)即---------------------------------------(here)
y=C(x)e^-∫p(x)dx
對y進行求導可知：dy/dx = C'(x)*(e^-∫p(x)dx) - C(x)*p(x)*(e^-∫p(x)dx);
帶入原式可知：C'(x)*(e^-∫p(x)dx) - C(x)*p(x)*(e^ -∫p(x)dx) + p(x)*C(x)*(e^ -∫p(x)dx) = q(x); => C'(x)(e^-∫p(x)dx) = q(x); => C'(x) = q(x)*(e^ ∫p(x)dx)
對兩端進行積分可知：C(x) = ∫q(x)*(e^∫p(x)dx)dx + C;
帶入第一步的通解裏可知：y=e^-∫p(x)dx * [∫q(x)*(e^∫p(x)dx)dx + C]
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下面說一下如何去理解
☆☆☆因爲我們可以知道解微分方程最終是爲了求出y關於x的函數，假設爲y=y(x),
dy/dx + [p(x) - q(x)/y(x)] * y = 0
y=C*(e^-∫[p(x) - q(x)/y(x)]dx)
y=(e^-∫p(x)dx) * (C* e^∫q(x)/y(x)dx)
c(x)=(C* e^∫q(x)/y(x)dx)顯而易見是一個關於x的函數，就設爲c(x).然後從上面標記的地方開始計算就可以理解了。。。