數值計算方法實驗二

1.已知函數列表

xi	0.40	0.55	0.65	0.80	0.90	1.05
yi	0.41075	0.57815	0.69675	0.88811	1.02652	1.25382

 

輸入需要使用的節點數量n(2≤n≤6),使用拉格朗日插值法計算x=0.596的函數值的近似值。

    要求：

    (1) 函數列表信息從鍵盤輸入；

    (2) 需要使用的節點數量n和插值點x從鍵盤輸入；

(3) 程序能夠根據輸入的節點數量n自動的從給定的6個節點中選擇n個距離x最近的節點，使得這些節點所形成的區間包含x；

(4) 用算法框圖描述選擇n個插值節點的實現過程；

(5) 輸出選擇的n個插值節點的信息；

(6) 輸出f(x)的最終計算結果。

程序源代碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef struct Node{
	double x;
	double y;
};
int main(){
	Node s[6];
	int i=0;
	double cz[6] = {0};    //用於存儲n個距離x最近的值與x的差值
	double cz1[6] = {0}; 
	double cz1Y[6] = {0}; 
	int n;
	double x; 
	
	cout<<"請輸入Xi和Yi"<<endl;
    int m=6;
	while(m--)
	{
		scanf("%lf%lf",&(s[i].x),&(s[i].y));
		i++; 
	}
	cout<<"輸入需要使用的節點數量n和插值點x:"<<endl;
	scanf("%d%lf",&n,&x);
	
	for(i=0;i<6;i++)
	{
	    cz[i] = s[i].x - x; 
	    cz1[i] = abs(cz[i]);
	}
	sort(cz1,cz1+6);   //差值的絕對值排序 
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		int d=6;
		while(d--)
		{
			if(cz1[i] == abs(cz[d]))
			{
				cz1Y[i] = s[d].y;
				if(cz1[i]*cz[d] < 0 )
				{
					cz1[i] = -cz1[i];
					break;
				}
			}
		}
		cz1[i] = cz1[i] + x;
	} 	

	double y=0,t;
	int k= -1;
	double yk=0;    
    do{
    	k = k+1;
    	t=1;
    	for(i=0;i<n;i++)
		{
			if(i != k)
			{
			   t = t * (x-cz1[i])/(cz1[k]-cz1[i]);	
			}		
		}
    	y = y + t*cz1Y[k];
	}while(k!=(n-1)); 
	
	cout<<"n個插值節點的信息"<<endl;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		cout<<"X"<<i<<": "<<cz1[i]<<" "<<"Y"<<i<<": "<<cz1Y[i]<<endl;
	}
	cout<<endl;
	cout<<endl;
	cout<<"f(x) = "<<y<<endl;
	return 0;
}

2.已知函數列表

xi	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
yi	0.29850	0.39646	0.49311	0.58813	0.68122

 

用埃特金算法計算插值點x=0.462時的函數值。

  要求：

(1) 函數列表和插值點x的值從鍵盤輸入；

(2) 將每一步的線性 插值結果按照埃特金插值計算順序打印輸出。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef struct Node{
	double x;
	double y;
};
int main(){
	Node s[6];
	int i=1,n=5,m=5,k=0;
	double x; 
	cout<<"請輸入Xi和Yi"<<endl;
	while(m--)
	{
		scanf("%lf%lf",&(s[i].x),&(s[i].y));
		i++; 
	}
	cout<<endl;
	cout<<"請輸入x的值:"<<endl;
	scanf("%lf",&x);
	cout<<endl;
	cout<<"埃特金插值的計算結果"<<endl;
	cout<<"         ";
	cout<<"    0    "<<"    1    "<<"    2    "<<"    3    "<<"    4    "<<endl;
	cout<<"   Xi:   ";
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
	    printf("   %.1lf   ",s[i].x);
	}
	cout<<endl;
	cout<<"  f(Xi):  ";
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
	    printf("%.6lf ",s[i].y);
	}
	cout<<endl;
	do{	
	    if(k!=(n-1))
		{
	        cout<<"  P";
		    for(i=0;i<=k;i++){cout<<i;}
		    cout<<"i"; 
			for(i=k;i<n;i++){cout<<" ";}	    	
	    }
		k = k+1;
		for(i=0;i<k;i++){cout<<"         ";}
		for(i=k;i<n;i++)
		{
			s[i].y = (x-s[k-1].x)/(s[i].x-s[k-1].x)*s[i].y + 
			         (x-s[i].x)/(s[k-1].x-s[i].x)*s[k-1].y;
            printf("%.6lf ",s[i].y);
		}
		cout<<endl;
	}while(k!=(n-2));
	
    cout<<endl<<endl;
    cout<<" 最後結果爲："<<s[n-1].y<<endl;
}

3.已知函數列表

xi	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
yi	0.38942	0.47943	0.56464	0.64422	0.71736

 

使用分段線性插值法計算插值點x=0.57891時的函數值。

  要求：

(1) 函數列表和插值點x的值從鍵盤輸入；

(2) 程序能夠自動的從給定的5個節點中選擇2個距離x最近的節點進行線性插值；

(3) 用算法框圖描述選擇2個插值節點的實現過程；

(4) 輸出選擇的2個插值節點的信息；

(5) 輸出f(x)的最終計算結果。

算法框圖：（選擇2個插值節點的實現過程）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef struct Node{
	double x;
	double y;
};
int main(){
	Node s[5];
	int i=0;
	double cz[5]   = {0};   
	double cz1[5]  = {0}; 
	double cz1Y[5] = {0}; 
	int n=5;
	double x; 
	
	cout<<"請輸入Xi和Yi"<<endl;
    int m=5;
	while(m--){
		scanf("%lf%lf",&(s[i].x),&(s[i].y));
		i++; 
	}
	cout<<"輸入x:"<<endl;
	scanf("%lf",&x);
	
	for(i=0;i<5;i++){
	    cz[i] = s[i].x - x; 
	    cz1[i] = abs(cz[i]);
	}
	sort(cz1,cz1+5);   //差值的絕對值排序 
	for(i=0;i<n;i++){
		int d=5;
		while(d--){
			if(cz1[i] == abs(cz[d])){
				cz1Y[i] = s[d].y;
				if(cz1[i]*cz[d] < 0 ){
					cz1[i] = -cz1[i];
				}
			}
		}
		cz1[i] = cz1[i] + x;
	}	
    double S;
	S = (x-cz1[1])/(cz1[0]-cz1[1])*cz1Y[0] +
	    (x-cz1[0])/(cz1[1]-cz1[0])*cz1Y[1];
	cout<<endl<<"選擇的兩個插值節點的信息："<<endl;
	cout<<"X0: "<<cz1[0]<<"  Y0: "<<cz1Y[0]<<endl; 
	cout<<"X1: "<<cz1[1]<<"  Y1: "<<cz1Y[1]<<endl; 
	cout<<"f(x): "<<S<<endl;
}