數值計算方法實驗五

1.用雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法和鬆弛法求下列線性方程組的解，要求準確到1/2×10-3。

要求：

(1) 線性方程組的維數n、係數矩陣A的元素、列向量b的元素從鍵盤輸入；

(2) 誤差ε和鬆弛因子ω從鍵盤輸入；

(3) 在同一個程序裏將雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法和鬆弛法編程實現；

(4) 繪製這三種算法求解線性方程組的算法框圖；

(5) 改變ω的值，根據迭代計算結果比較ω取不同值的情況下迭代過程的收斂速度；

(6) 將這三種算法的每一步迭代計算結果打印輸出；

(7) 根據計算結果，比較這三種算法的迭代收斂速度。

 

算法框圖：

程序源代碼：

程序源代碼：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
	int a[10][10],a1[10][10],a2[10][10];
	double b[10],b1[10],b2[10];
	double x[10]={0.0};
	double y[10]={0.0},ch[10] = {0.0};
	int n,i,j,k,N=50; 
	double e,w,sum;
	cout<<"請輸入線性方程組的維數"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"請輸入係數矩陣A的元素"<<endl;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=n;j++){
		    cin>>a[i][j]; 
		    a1[i][j] = a[i][j];
		    a2[i][j] = a[i][j];
		} 
	}
	cout<<"請輸入列向量b"<<endl;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>b[i];
		b1[i] = b[i];
		b2[i] = b[i];
	}
	cout<<"請輸入誤差e和鬆弛因子w"<<endl;
	cin>>e>>w;
	cout<<"雅可比迭代法："<<endl<<endl;
	k=1;
	do{
		for(i=1;i<=n;i++){
			sum=0;
			for(j=1;j<=n;j++){
				if(j!=i){
				    sum += a[i][j]*x[j]; 	
				}
			}
			y[i] = (b[i] - sum)/a[i][i];
			ch[i] = abs(x[i] - y[i]);
		}
		
		double max = ch[1];
	    for(i=2;i<=n;i++){
	    	if(ch[i] > max){
	    		max = ch[i];
			}
		}
		cout<<"第"<<k<<"次結果爲： ";
	    for(i=1;i<=n;i++){
            printf("X%d:  %.6lf  ",i,y[i]);
		}		
		cout<<endl;
		if(max<e){
			break;
		}
		else{
			k++;
			if(k>N){
				cout<<"超過最大迭代次數，迭代失敗"<<endl;
			} 
			for(i=1;i<=n;i++){
				x[i] = y[i];
			}
		}	
	}while(1);
	
	for(i=0;i<=10;i++){
	   x[i] = 0;
	   y[i] = 0;
	   ch[i] = 0;		
    }
	cout<<endl<<endl<<"高斯-賽德爾迭代法："<<endl;
	k=1;
	do{
		for(i=1;i<=n;i++){
			sum=0;
			for(j=1;j<=n;j++){
				if(j!=i){
				    sum += a1[i][j]*y[j]; 	
				}
			}
			y[i] = (b1[i] - sum)/a1[i][i];
			ch[i] = abs(x[i] - y[i]);
		}
		
		double max = ch[1];
	    for(i=2;i<=n;i++){
	    	if(ch[i] > max){
	    		max = ch[i];
			}
		}
		cout<<"第"<<k<<"次結果爲： ";
	    for(i=1;i<=n;i++){
            printf("X%d:  %.6lf  ",i,y[i]);
		}	
		cout<<endl;	
		if(max<e){
			break;
		}
		else{
			k++;
			if(k>N){
				cout<<"超過最大迭代次數，迭代失敗"<<endl;
			} 
			for(i=1;i<=n;i++){
				x[i] = y[i];
			}
		}	
	}while(1);

    for(i=0;i<=10;i++){
	   x[i] = 0;
	   y[i] = 0;
	   ch[i] = 0;		
	}
	cout<<endl<<endl<<"鬆弛法："<<endl;
	k=1;
	do{
		for(i=1;i<=n;i++){
			sum=0;
			for(j=1;j<=n;j++){
				if(j!=i){
				    sum += a2[i][j]*y[j]; 	
				}
			}
			y[i] = (b2[i] - sum)/a2[i][i];	
			y[i] = (1-w)*x[i] + w*y[i];
			ch[i] = abs(x[i] - y[i]);
		}
	
		double max = ch[1];
	    for(i=2;i<=n;i++){
	    	if(ch[i] > max){
	    		max = ch[i];
			}
		}
		cout<<"第"<<k<<"次結果爲： ";
	    for(i=1;i<=n;i++){
            printf("X%d:  %.6lf  ",i,y[i]);
		}
		cout<<endl;		
		if(max<e){
			break;
		}
		else{
			k++;
			if(k>N){
				cout<<"超過最大迭代次數，迭代失敗"<<endl;
			} 
			for(i=1;i<=n;i++){
				x[i] = y[i];
			}
		}	
	}while(1);

	return 0;
}

2.用高斯—約當消元法或全選主元高斯消元法求解下列線性方程組的解

要求：

(1) 線性方程組的維數n、係數矩陣A的元素、列向量b的元素從鍵盤輸入；

(2) 用算法框圖描述相應算法的實現過程；

(3) 將每一次消元過程得到的增廣矩陣打印輸出；

(4) 最後輸出方程組的解。

算法框圖：

程序源代碼：

源代碼：
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	double a[10][10],b[10],x[10]={0};
	int n,i,j,count=1;
	cout<<"請輸入線性方程組的維數"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"請輸入係數矩陣A的元素"<<endl;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	cout<<"請輸入列向量b"<<endl;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>b[i];
		a[i][n+1] = b[i];
	}
	int k,c,d;
	double ch;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=n;j++){
			if(i!=j){
				ch = -a[j][i]/a[i][i];
				for(k=0;(i+k)<=n+1;k++){
				    a[j][i+k] = a[i][i+k]*ch+a[j][i+k];
			    }
			}	
		}
		cout<<endl;
		cout<<"第"<<count<<"次消元得到的增廣矩陣"<<endl; 
		for(c=1;c<=n;c++){
			for(d=1;d<=n+1;d++){
                printf("%.3lf   ",a[c][d]);
			}
			cout<<endl;
		}	
	}
	cout<<endl<<"最後求得各x爲"<<endl;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cout<<"X"<<i<<": "<<a[i][n+1]/a[i][i]<<endl;
	}
	return 0;
}