Eigen 線性問題求解（最小二乘等）

介紹如何求解線性系統，計算幾種分解，比如LU，QR，SVD等。

基本的線性求解

問題：假設有一個系統方程寫成如下矩陣的形式
Ax=b
其中A,b是矩陣，b也可以是向量，當想要求解x時，可以選擇多種分解方式，取決於矩陣A的形式以及考慮的速度和精度，下面是一個簡單的例子。

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
   Matrix3f A;
   Vector3f b;
   A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
   b << 3, 3, 4;
   cout << "Here is the matrix A:\n" << A << endl;
   cout << "Here is the vector b:\n" << b << endl;
   Vector3f x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
   cout << "The solution is:\n" << x << endl;
}

求解爲：

Here is the matrix A:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8 10
Here is the vector b:
3
3
4
The solution is:
-2
 1
 1

例子中colPivHouseholderQr()方法返回一個類ColPivHouseholderQR的對象，因此那句話也可以寫成

ColPivHouseholderQR<Matrix3f> dec(A);
Vector3f x = dec.solve(b);

這裏ColPivHouseholderQR是QR分解的意思，適用於各種矩陣並且速度夠快，下面是幾種分解的對比

Decomposition	Method	Requirements on the matrix	Speed (small-to-medium)	Speed (large)	Accuracy
PartialPivLU	partialPivLu()	Invertible	++	++	+
FullPivLU	fullPivLu()	None	-	- -	+++
HouseholderQR	householderQr()	None	++	++	+
ColPivHouseholderQR	colPivHouseholderQr()	None	++	-	+++
FullPivHouseholderQR	fullPivHouseholderQr()	None	-	- -	+++
LLT	lt()	Positive	definite	+++	+++
LDLT	ldlt()	Positive or negative semidefinite	+++	+	++
JacobiSVD	jacobiSvd()	None	- -	- - -	+++

以上分解都提供了solve()方法。比如當矩陣是正定的時候，表中說明LLT和LDLT是不錯的選擇。