數論公式

【持續更新中】
1、
$a>b$且$gcd(a,b)=1$，則有$gcd(a^n-b^n,a^m-b^m)=a^{gcd(n,m)}-b^{gcd(n,m)}$。

證明 ：
假設：$n>=m$，$r=n \%m$

有$a^n-b^n=(a^m-b^m)*(a^{n-m}+a^{n-2m}b^m+\dots+a^rb^{n-m-r})+a^rb^{n-r}-b^n$

$gcd(a^n-b^n,a^m-b^m)=gcd(a^rb^{n-r}-b^n,a^m-b^m)=gcd(b^{n-r}*(a^r-b^r),a^m-b^m)$

設$b^{n-r}=b^{m\lfloor \frac{n}{m} \rfloor}=b^{km}$

考慮$gcd(b^{km},a^m-b^m)$

有$b^{km}=(a^m-b^m)*(-b^{(k-1)m}-a^mb^{(k-2)m}-\dots-a^{(k-1)m})+a^{km}$

$gcd(b^{km},a^m-b^m)=gcd(a^{km},a^m-b^m)=d$

所以$d|b^{km},d|a^{km},d|gcd(b^{km},a^{km})=1$

即$gcd(b^{n-r},a^m-b^m)=1$

所以$gcd(a^n-b^n,a^m-b^m)=gcd(a^{n\%m}-b^{n\%m},a^m-b^m)=a^{gcd(n,m)}-b^{gcd(n,m)}$

證畢。

2、
$\mu(x*y)=\mu(x)*\mu(y)*[gcd(x,y)==1]$

3、
$[gcd(i,k)==1]*[gcd(j,k)==1]*\mu(i)*\mu(j)$
$=[gcd(i,k)==1]*[gcd(j,k)==1]*\mu(i)*\mu(j)*(\mu(k))^2$
$=\mu(i*k)*\mu(j*k)$