LSGO——LeetCode實戰（數組系列）： 62題 不同路徑 （Unique Paths）

原題：

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記爲“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記爲“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

例如，上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例 1:

輸入: m = 3, n = 2
輸出: 3
解釋:
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
   示例 2:

輸入: m = 7, n = 3
輸出: 28

來源：力扣（LeetCode）
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解法一：排列組合

思路：排列組合
因爲機器到底右下角，向下幾步，向右幾步都是固定的。
比如，m=3, n=2，我們只要向下 1 步，向右 2 步就一定能到達終點。

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        return int(math.factorial(m+n-2)/math.factorial(m-1)/math.factorial(n-1))  # 使用內置函數factorial進行階乘。

解法二（動態規劃）：

思路：我們令 dp[i][j] 是到達 i, j 最多路徑
動態方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
注意，對於第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由於都是在邊界，所以只能爲 1

程序一：

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp = [[1]*n] + [[1]+[0] * (n-1) for _ in range(m-1)]  # 初始化dp數組。
        #print(dp)
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

程序二：

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        cur = [1] * n
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                cur[j] += cur[j-1]
        return cur[-1]

解法三：遞歸：

程序一：

** 超出時間限制**

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if(m==1 or n==1):
            return 1
        else:return self.uniquePaths(m,n-1)+self.uniquePaths(m-1,n)

程序二

** 使用a數組記錄路徑數，當路徑不爲0的時候說明該位置已經求算過，直接return。 **

class Solution(object):
    a = [[0] * (101) for i in range(101)]
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if m == 1 or  n == 1:
            return 1
        if self.a[m][n] > 0: return self.a[m][n]
        self.a[m][n] = self.uniquePaths(m,n-1)+self.uniquePaths(m-1,n)
        return self.a[m][n]