【BZOJ 2721】

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通分：
$\frac{xy}{x+y}=n!$
移項並打開括號：
$xy=n!x+n!y$
合併同類項：
$(y-n!)x=n!y \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{n!y}{y-n!}$
令$t=y-n!$，則$y=t+n!$。所以：
$x=\frac{n!(t+n!)}{t}=y+\frac{(n!)^2}{t}$
因爲$x$是一個整數，所以$t|(n!)^2$。於是我們把原問題轉化爲求$m=(n!)^2$的因數個數。
我們將$m$分解質因數：
$m=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}$
那麼由乘法原理，m的因數個數爲：
$ans=\prod_{i=1}^k(a_i+1)$
實現時，我們可以把$1~n$分解質因數。枚舉$i\in [1,n]$，維護前綴積即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mn = 1000005, mod = 1e9 + 7;
int pri[mn], cnt; bool vis[mn];
ll ans = 1, num[mn];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    vis[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i]) pri[++cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt && pri[j] * i <= n; j++)
        {
            vis[pri[j] * i] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
    //一點技巧
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
        for(int j = pri[i]; j <= n; j += pri[i])
            for(int t = j; t % pri[i] == 0; t /= pri[i]) ++num[i];
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
        (ans *= (num[i] << 1) | 1) %= mod;
    printf("%lld\n", ans);
}