【反饋】傳遞函數（系統函數）

前言

相當簡單的東西。關於方框圖代數、拉普拉斯變換……

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傳遞函數

$y(s) = H(s)u(s)$
輸入/激勵：u(s)
傳遞函數：H(s)
輸出/響應：y(s)

H(s)傳遞函數不以任何方式依賴於外部“強制”函數u(s):它完全由微分方程獨立確定。通過這種方式，它封裝了系統所有內部動態特性。
微分方程包含的關於系統行爲的所有信息，也都包含在傳遞函數中。由於H(s)僅僅是關於s的函數，比起微分方程，傳遞函數比較好用。

部分拉普拉斯編程的函數對應關係

時間空間f(t)	頻率空間F(s)
1	1/s
t	1/s2
tn	n!/(sn + 1)
e(-t/T)/T	1/(1+sT)
coswt	s/(s2 +w2)
sinwt	w/(s2+w2)
f(t)	F(s)
af(t)+bg(t)	aF(s)+bG(s)
eatf(t)	F(s-a)
f(t-T)	e-TsF(s)
f(t/a)	aF(as)
df(t)/dt	sF(s) - f(t=0)
\int_0^tf(u)du	F(s)/s

方框代數

$y(s) = G(s)*H(s)u(s)$
對於系統G和系統H來說，G(s)和H(s)分別是各自的傳遞函數，而整體的傳遞函數就是G(s)*H(s)

$y(s) = G(s)u(s) + H(s)u(s)$
這個系統整體的傳遞函數就是G(s) + H(s)

• 圓形○表示相加
  
• H表示受控系統，K表示控制器。-1方框是取y的相反數（有些系統中取相反數是在箭頭旁畫個負號，沒有-1框）。

把K和H看做一個整體有$y= HK(r - y)$推導出$y = \frac{HK}{1+HK}r$
傳遞函數就是$\frac{HK}{1+HK}$

• G即是控制器也是受控系統，H是控制器
  由$y = G(r - Hy)$有$y = \frac{G}{1 + GH}r$
  傳遞函數爲$\frac{G}{1+GH}$

PID控制器

簡單的反饋的控制器有兩種，開關控制器（bang-bang）和三項控制器（PID）。當然，比三項控制器更復雜的比比皆是。

$u_{pid}(t) = k_pe(t)+k_i\int_0^te(t)dt+k_d\frac{\partial e(t)}{\partial t }$

拉普拉斯變換得到頻域下的表達式
$u_{pid}(s) = [k_p + \frac{k_i}{s} + k_ds]e(s)$
傳遞函數爲
$[k_p + \frac{k_i}{s} + k_ds]$

另一種PID控制器傳遞函數形式爲
$k[1+\frac{1}{sT_i} + sT_d]$$k=k_p \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T_i = \frac{k_p}{k_i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T_d=\frac{k_d}{k_p}$

控制器參數變化的一般影響

$K(s)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_ds$

• 增加$K_p$：增加速度，降低穩定性，增加噪音
• 增加$K_i$：降低速度，降低穩定性，減少噪聲，消除穩態誤差速度更快，增加振盪的幅度
• 增加$K_d$：增加速度，增加穩定性，快速增加噪音

比例控制器侷限

error爲零時控制器輸出爲零，這時調節不了。此時系統不一定穩定，即我仍然需要非零輸出

滯後與延遲

規定：滯後是給系統激勵（輸入）後馬上反應，但是過一段時間才緩緩達到要求。延遲是給系統激勵後過一段時間再反應。
（如果其他地方關於滯後和延遲的解釋和這個不同的話，按其他的來）

通過微分方程得到傳遞函數：階梯響應

前面說了傳遞函數與輸入無關，所以傳遞函數是由齊次方程確定的，是零輸入響應——至於爲什麼沒有零狀態和全響應，估計是這本書只取這種最簡單的情況才能使能讓傳遞函數和輸入分離開。

對於系統的階梯響應的動態特性，可以用微分方程 $\frac{dy(t)}{dt} + \frac{y(t)}{T}=0$來描述。其傳遞函數爲 $H(s) = \frac{1}{1+sT}$(這是標準化後的，即當s=0時，H(s)=1)

當輸入是1時，1的拉布拉斯變換結果是$\frac{1}{s}$,則頻域下的階梯響應爲
$Y(s)=H(s)U(s)=\frac{1}{1+sT}\frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{T}{1+sT}$
時域下的階梯響應爲
$y(t)=1-e^{-t/T}$
很明顯，這個響應是滯後的，還是簡單的，因爲沒有振盪和衝擊等行爲。這樣的簡單滯後提供了任何緩慢過程的最簡單的描述，是輸出基本遵循其輸入的過程。

斜波輸入

仍然是上面那個傳遞函數，只不過輸入換成 $t$ 。於是$Y(s)=\frac{1}{1+sT}\frac{1}{s^2} =\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{1+sT}$
時域下$y(t)=T(\frac{t}{T} - (1-e^{-t/T}))$

斜波振盪器

外力驅動的阻尼振盪器：$\frac{d^2f(t)}{dt^2}+2\zeta\omega\frac{dy(t)}{dt}+\omega^2y(t)=\omega^2f(t)$

進行拉布拉斯變換後：$s^2Y(s)+2\zeta\omega sY(s)+\omega^2Y(s)=\omega^2F(s)$
則斜波振盪器的傳遞函數爲
$H(s)=\frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega s+\omega^2}$

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來自《企業級編程與控制理論》