【寒假學習】考研高數第三章-中值定理與一元微分應用

考研數學一

高等數學

目錄

第三章 中值定理與一元微分應用

2020.2.5 山東濰坊 湯家鳳高等數學視頻課

數學公式不便輸入，只列目錄

一. 中值定理

1. 預備知識：

1. 一點的導數爲大於、等於、小於0或者無 四種情況
2. f(x)在x=0取極值 等價於 導數等於0或導數不存在
3. f(x)可導且在x=a取極值，等價於 在a處導數值等於0

2. Rolle定理

1. 應用條件
   1. 定義域在閉區間[a,b]
   2. 在區間(a,b)內可導
   3. 兩個點函數值相等 f(a) = f(b)
2. 結論：在區間內存在一點導數爲0

3. Lagrange 拉格朗日 定理

1. 應用條件

   1. 定義域在閉區間[a,b]
   2. 在區間(a,b)內可導

2. 結論：

   在(a,b)中存在 $ \xi $ 使得
   $f(\xi^`) = {f(b)-f(a)\over b-a}$

3. Notes

   1. 當f(a)=f(b)時，Lagrange = Rolle
   2. 等價形式

4. Canchy 柯西定理

1. 應用條件

   1. f ,g 屬於閉區間[a,b]
   2. f,g 在(a,b)內可導
   3. g`(x)!=0 (a<x<b)

2. 結論：存在$\xi$屬於(a,b),使得
   ${f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}={f(\xi^`)\over g(\xi^`)}$

3. Notes:

   1. g`(x) != 0
   2. IF g(x) = x 此時柯西變成拉格朗日
   3. 輔助函數

5. 題型：

1. 題型一：證明Rolle
2. 題型二：僅有$\xi$,無其他字母
3. 題型三：有$\xi$,有a,b
   1. a,b與$\xi$ 可分
   2. a,b與$\xi$ 不可分
4. 題型四：雙中值
   1. 結論中僅有$f'(\xi)$, $f'(\eta)$: 找三點，兩次拉格朗日
   2. $\xi$, $\eta$ 複雜度不同：留複雜，去簡單
5. 題型五：拉格朗日使用習慣
   1. f(b) - f(a) : 拉格朗日
   2. f(b) f(a) f© ： 兩次拉格朗日

6. TayLar 泰勒

1. 條件：f(x)在$x=x_0$鄰域內 n+1 階可導
2. 結論：f(x)= p(x) + 餘項
3. 記憶公式

二. 單調性與極值

1. 步驟

1. 定義域
2. 導數爲0或者不存在
3. 判別法
   1. 方法一：第一充分條件
   2. 方法二：第二充分條件

2. 題型：

1. 題型一：不等式證明
2. 題型二：方程根討論
   1. 零點定理
   2. Rolle
   3. 單調法
3. 題型三：極值點判斷
   1. 定義域
   2. 導數爲0或者不存在
   3. 判別法

三. 零碎問題

1. 凹凸性

2. 漸近線

1. 水平
2. 鉛直
3. 斜漸近線

3. 弧微分