常微分方程的數值求解

常微分方程

首先理解一下什麼是常微分方程,簡單的說就是隻有一個未知數的微分方程,具體定義如下:
凡含有參數，未知函數和未知函數導數 (或微分) 的方程，稱爲微分方程，有時簡稱爲方程，未知函數是一元函數的微分方程稱作常微分方程，未知函數是多元函數的微分方程稱作偏微分方程。
一階常微分方程的初值問題是:

{y′=f(x,y),y(x0)=y0,$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y),\\ y(x_0)=y_0,\end{array}$$

其中y=y(x)$y=y(x)$ 是未知函數,y(x0)=y0$y(x_0)=y_0$ 是初值條件,而f(x,y)$f(x,y)$ 是給定的二元函數

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簡單的數值方法和歐拉公式

簡單的數值方法就是用差商代替導數,公式如下:

yn+1=yn+hf(xn,yn)(n=0,1,2,⋯)$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)(n=0,1,2,\cdots )$$

其中h$h$ 是步長;
改進的歐拉方法:

{y¯n+1=yn+hf(xn,yn)yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1,y¯n+1)]預測校正$$\{\begin{array}{ll}{\overline{y}}_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)& \text{預測}\\ y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},{\overline{y}}_{n+1})]& \text{校正}\end{array}$$

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龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法

歐拉方法是龍格-庫塔方法的一個特例,其局部截斷誤差爲一階泰勒餘項O(h2)$O(h^2)$ ,爲了使誤差更小,我們可以做更高階的誤差截斷,這也就是我們Runge-Kutta方法的基本原理,具體推導可參考《數值分析》的第八章.其公式如下:

⎧⎩⎨⎪⎪yn+1=yn+h∑ri=1ciKi,K1=f(xn,yn),Ki=f(xn+λih,yn+h∑i−1j=1uijKj)(i=2,3,⋯,r),$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^r{c}_i{K}_i,\\ K_1=f(x_n,y_n),\\ K_i=f(x_n+{\lambda }_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}{u}_{i}j{K}_j)(i=2,3,\cdots ,r),\end{array}$$

當r=1時就是歐拉方法,當r=2時,就是改進的歐拉方法,這裏我們不做具體推導,而是看一下matlab中封裝好的4階Runge-Kutta方法的函數實現ode45函數.

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ode45

先看一個簡單的例子:dydx=y+3xx2$\frac{dy}{dx}=\frac{y+3x}{x^2}$ ,初值y(0)=−2$y(0)=-2$ ,求解區間爲[14]$[14]$ ,代碼如下:

odefun=@(x,y) (y+3*x)/x^2;
tspan=[1 4];
y0=-2;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
plot(x,y)

但是我們再看另外一個例子:

{y′=yx−2y20<x<3y(0)=0$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=\frac{y}{x}-2y^2\text{0<x<3}\\ y(0)=0\end{array}$$

我們編寫如下代碼:

odefun=@(x,y) y/x-2*y^2;
tspan=[0 3];
y0=0;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
plot(x,y)
disp(y)

發現沒有數值解

於是我們把代碼進行了如下修改:

odefun=@(x,y) fun(x,y);
tspan=[0 3];
y0=0;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0);
plot(x,y)

function dy = fun(x,y)
if(x==0)
    dy=1-2*y^2
else
    dy = y/x-2*y^2
end
end

這裏需要強調一點的是,Runge-Kutta法針對的是連續的函數f$f$ ,由於在例子中,函數在x=0$x=0$ 處是不連續的,所以在這個地方是需要單獨處理的,在這裏,yx$\frac{y}{x}$ 在x=0$x=0$ 處的導數爲1(洛必達法則,即00=1$\frac{0}{0}=1$ )