編程之美上2.18題：
有一個無序，元素個數爲2n的正整數數組，要求：如何能把這個數組分割爲元素個數爲n的兩個數組，並使兩個子數組的和最接近？
eg：1,5,7,8,9,6,3,11,20,17->1,3,11,8,20 5,7,9,6,17
分析：
題目的本質是從2n個整數中找出n個數，使得其和最接近所有整數總和的一半。
編程之美的解法一已經明確了，該種揭發不是最優的。
下面兩種解法主要是用動態規劃，雖然我看的不是很明白，但是這讓我想到了這題可以用揹包問題來求解。揹包問題是標準的動態規劃問題。下面是思路：
由題目看，此題應該轉換爲01揹包問題，因爲其中的元素每個只能取一次。揹包的容量W爲sum/2，物品的總個數M=2n。但是01揹包問題只需要求得裝入揹包的物品使得總價值最大即可，對裝入物品的個數並沒有限制。但是這裏不同，裝入揹包的物品總價值不僅要最大，而且裝入的物品個數一定是2n的一半：n個！這就需要好好的思考一下了~
我們假設F[i][j][k]表示從前i個數中取j個數，其和不超過k且最接近k的一個值。
那麼利用01揹包的思想：
F[i][j][k] = max(F[i-1][j][k],F[i-1][j][k-A[i]]+A[i])，其中1<=i<=2n,1<=j<=min(i,n),1<=k<=sum/2，前一個式子表示第1個數不取，後一個式子表示取第i個數。這樣，最後取的n個數的總和結果就是F[2n][n][sum/2]。注意，前後兩個式子表示的情況是完備且互斥的。
另外有一個很關鍵的是求到底取了數組中的讀幾個數，當F[i][j][k] = F[i-1][j][k-A[i]]+A[i]時，說明第i個數被取，這時候需要一個數組P[][][]進行記錄。可以這麼做：
當F[i][j][k] = F[i-1][j][k-A[i]]+A[i]時，令P[i][j][k] = 1，最後從F[2n][n][sum/2]逆着走向F[0][0][0,]，若發現F[i][j][k]= 1， 則說明數組中的第i個數取了，同時k = k-A[i]，j = j-1，i = i-1。
好了，直接上代碼：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int F[100][50][1000];
int P[100][50][1000];
int GetSplitArraySum(int *arr, int n)//n代表元素個數不包括第0個
{
int sum = 0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
sum += arr[i];
int val = sum>>1;
for (int i=1; i<=n; ++i) {
for (int j=1; j<=min(i, n>>1); ++j) {
for (int k=1; k<=val; ++k) {
F[i][j][k] = F[i-1][j][k];
if (k>=arr[i] && F[i][j][k] < F[i-1][j-1][k-arr[i]]+arr[i]) {
F[i][j][k]=F[i-1][j-1][k-arr[i]]+arr[i] ;
P[i][j][k] = 1;
}
}
}
}
return F[n][n>>1][val];
}
void PrintElem(int *arr, int n)
{
int sum = 0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
sum += arr[i];
int val = sum>>1;
int i= n;
int j = n>>1;
int k = val;
while (i>0 && j>0 && k>0) {
if (P[i][j][k]==1) {
cout<<arr[i]<<" ";
--j;
k -= arr[i];
}
--i;
}
cout<<endl;
}
int main(int argc, char **argv)
{
int arr[10+1] = {0,1,5,7,8,9,6,3,11,20,17};
cout<<GetSplitArraySum(arr, 10)<<endl;
PrintElem(arr, 10);
system("pause");
return 0;
}此方法的空間複雜度爲O(2N*N*Sum/2)即O(N^2*Sum)，時間複雜度爲O(N2Sum)。還可以優化麼？待續~
