一,什麼是矩陣
簡單兩個例子:
A=[1324],B=[142536]
矩陣A中的其中一個元素可以用a11=1表示
矩陣可以向上面表示成框起來的數字,排列的像個陣列
二,矩陣的基本運算
1,加減法
①加法:
相同行列數的矩陣對應元素直接相加即可
簡單舉個例子:
a=⎣⎡134⎦⎤,b=⎣⎡647⎦⎤,a+b=⎣⎡a11+b11a21+b21a31+b31⎦⎤=⎣⎡7710⎦⎤
②減法
運算要求同上,只是變成相減運算而已
舉個簡單例子:
a=⎣⎡134⎦⎤,b=⎣⎡647⎦⎤,a−b=⎣⎡a11−b11a21−b21a31−b31⎦⎤=⎣⎡−5−1−3⎦⎤
2,數乘
一個矩陣與一個實數相乘,每個元素都與實數相乘
簡單舉個例子:
有A=[a11a21a12a22]
則λA=[λa11λa21λa12λa22]
3,乘法
有Am×n×Bp×q
若n=p
則Am×n×Bp×q=Cm×q
矩陣懲罰不滿足交換律,但是滿足結合律和分配律
- (AB)C=A(BC)
- (A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC
- λ(AB)=(λA)B=A(λB),λ∈R
4,轉置
簡單說就是行列互換
有A=[142536]
則AT=⎣⎡123456⎦⎤
轉職的運算規則
- (AT)T=A
- (AB)T=BTAT
- (A+B)T=AT+BT
三,四種特殊的矩陣
1,對稱矩陣
若一個矩陣轉職後等於原矩陣,這個矩陣就是對稱矩陣
對稱矩陣一定爲方陣
- 舉個例子:
A=⎣⎡123256367⎦⎤
2,單位矩陣
單位矩陣是一個n×n矩陣,主對角線元素爲1,其餘元素爲0
-
舉個例子:
A=⎣⎡100010001⎦⎤
-
一個矩陣與單位矩陣相乘還是原來的矩陣:
Am×nIn×n=Am×m
Im×mAm×n=Am×n
3,逆矩陣
逆矩陣有點像以前接觸過的倒數,與原來的數相乘等於1
若A有逆矩陣,則逆矩陣記作A−1
- A與A−1的乘積是單位矩陣 :
AA−1=A−1A=I
4,奇異矩陣
奇異矩陣是方陣的一種,對應的行列式計算爲0
四,初探矩陣與線性方程組
兩種基本的計算方法
五,再看矩陣與線性方程組
- 矩陣的初等變換⟹行階梯矩陣
- 矩陣的秩⟹滿秩矩陣
- 線性組合⟹線性相關
六,求解逆矩陣
七,消元矩陣與置換矩陣
八,LU分解
求解輸出經常變動的大型方程組