最短路

原創

2020-02-21 09:05

本文介紹4種算法：SPFA, Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd
PS:文中分大小寫。圖爲G(V,E)，V爲節點集合，E爲邊集合，但v表示某個節點（v∈V）

Dijkstra:

原理：通過每一次解壓節點min{key[v]|v∈G-已經生成的最短路徑的樹}並添加到樹中，並將所有以v爲起點的邊鬆弛（key域），來達到最短路（貪心）
注意：圖中不能有負權，不能查是否有負權迴路
步驟：
1. 初始化key域。每個key[v]=INF，v∈V
2. 將最短路起點S的key[S] = 0
3. 定義一個優先隊列 priority_queue (#include <queue>) ，並將S節點（可以考慮用pair來綁定key域,也可以用一個結構來綁定）壓入。//STL的隊列默認爲最大優先，故要創建一個比較類，重載()來實現最小堆
4. 循環（直到隊列爲空）每一次解壓最小值，將最小key域所綁定的節點v解壓出來並添加到樹中（直接用一個bool數組來確定是否在樹中即可，要輸出路徑就定義一個父親域並維護）將v爲起點的邊全部鬆弛一遍，維護key域。並將這條邊的終點壓入隊列。

分析：時間複雜度O(N^2)
適用於：稠密圖
優化：優化堆的實現，即手打FIB堆或其它比STL快的堆= =。可以達到O(NlogN)

Bellman-Ford:

原理：通過V-1次（最短路長度最多有V-1條邊嘛- -）對每一條邊鬆弛，來實現最短路（同樣是貪心）
好處：圖中可以有負權，也能判斷是否有負權迴路
步驟：
1. 初始化key域。每個key[v]=INF，v∈V
2. 循環（1~n-1）
3. 枚舉所有邊進行鬆弛
4. 判斷是否有迴路，循環（1~V）
  如果以v∈V爲起點的邊還能鬆弛，即有迴路。（自己拿算導看證明哈，或者谷歌百度，或者自己想）

分析：時間複雜度O(VE)
適用於：稀疏圖和負權圖
優化：我布吉島

Floyd:

4行代碼：

for(k = 1; k <= N; k++)
	for(i = 1; i <= N; i++)
		for(j = 1; j <= N; j++)
			node[i][j] = min(node[i][j], node[i][k]+node[k][j]);

SPFA：（全名爲：ShortestPathFasterAlgorithm）

百科

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我們知道，求一個圖中的單源最短路徑有Dijkstra、Ford這兩種經典的算法。其複雜度均是O(N2)，通過堆的優化，Dijkstra可以達到O(NlogN)的複雜度。但對於一些十分稀疏的圖，這個複雜度就有些浪費了。當一個圖中的邊數e遠遠小於N2時，我們就考慮是否有一種算法，其時間複雜度只跟邊數e有關係。於是SPFA誕生了。

我們知道，Dijkstra的O(N2)是因爲又一重循環是爲了找到目前的Dist值最小的節點，於是我們想，能不能不找最小的，只是按照一定的順序更新就可以了。那麼算法的雛形就出來了,設S爲源點：

Quene←S
While Quene not empty do
    Tmp←Quene
    For each node i with an edge to Tmp do
        If Dist[i] > Dist[Tmp]+length(edge(i,Tmp)) then
            Dist[i]←Dist[Tmp]+length(edge(i,Tmp))
            If i not in the Quene then
                Quene←i

這就是傳說中的SPFA。我們來看看它的執行過程：

爲了圖片的美觀，我隱藏了頂點的標號。左上角的頂點爲源點，黃的的點表示在隊列中，綠色的點表示正在處理：