最小生成樹

其實我在學最短路之前就學了生成樹了，現在接着寫。
本文介紹2種算法：Kruskal，Prim
PS:文中分大小寫。 圖爲G(V,E)，V爲節點集合，E爲邊集合，但v表示某個節點（v∈V）
其實很多都和最短路差不多的，鬆弛操作不同而已。
前提：連通圖

Kruskal:

• 原理： 通過排序每一條邊（權值遞增）從|E|條邊中取V-1條邊出來（V個點嘛，最小生成樹始終是V-1條邊的），滿足每次選的邊的起點和終點不在一棵樹上。
• 採用： 並查集
• 步驟：
  1. 初始化邊，並以升序排序
  2. 初始化並查集，這裏以p域代表， p[i]=i; // i∈[1,|V|]
  3. 循環（1~|E| : i）
     1）判斷第i條邊的起點和終點是否在一棵樹上（使用並查集，可保證非常快的判斷）
     2）如果不在的話，加入i邊，並使得p[起點]=終點 或 p[終點]=起點

並查集實現：

inline int find(int x)
{
	int t = x;
	while(p[x] != x) x = p[x];
	p[t] = x;
	return x;
}

• 分析：時間複雜度O(E) 並查集的時間太小 省略。
• 適用於：任何連通圖 稀疏圖
• 優化：我不會

Prim:

• • 原理：通過|V|-1次加入樹中與v的邊, min{key[v] | v∈G-已生成的最小樹} 到最小樹中，來實現最小生成樹
  • 採用：優先隊列 priority_queue (#include <queue> 要定義一個比較類來實現最小堆)
  • 步驟：
    1. 初始化key域 key[i] = INF; // i∈[1,|V|]
    2. key[S]=0； // S爲最小生成樹的根
    3. 初始化vis域（已生成樹），且vis[i]=0; // i∈[1,|V|]
    4. 將S壓入優先隊列q
    5. 循環（q不爲空）
       1）使u=q的隊頭，並將隊頭出隊
       2）把u與樹中的邊加入到樹中，即設置u已經在樹中vis[u]=1;
       3）對以u爲起點的邊進行僞鬆弛（這些邊的終點一定是不在樹中的，即vis[a]!=1）。並把這些邊的終點壓入隊列。

我說的僞鬆弛的指的是：if(key[i] > edge[u][i]) key[i] = edge[u][i];//注意，如果沒有u->i這條路徑，edge[u][i]一定要是INF,不要是0，這點在初始化時做
（如果初始化爲0的話，可以這樣 if(edge[u][i] && key[i] > edge[u][i]) key[i] = edge[u][i];）
（之所以叫僞鬆弛，因爲這和鬆弛太像了。）

• 分析：時間複雜度O(KV) K爲優先隊列解壓最小的實現
• 優化：優化堆的實現（不嫌麻煩就手打FIB堆。。優先隊列是用二叉堆的。）

//好像漏洞百出，以後再來更新，歡迎大家幫忙找漏洞，歡迎吐槽