數論和有限域的基本概念
整除性
- b | a -> b 整除 a, b 是 a 的因子
歐幾里得算法
- 最大公因子
- gcd(0, 0) = 0
- gcd(a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a, b) = gcd(|a|, |b|)
- gac(a, 0) = |a|
- 互素情況
gcd(a, b) = 1, 則 a 和 b 互素 求最大公因子
求a、b的最大公因子d：
由於兩個正整數的最大公約數一定可以由這兩個正整數組合出來，因此我們設兩個整數s、t,有：
gcd(a, b) = d = sa + tb
取a = 123， b = 456，有：
**456 = 3 x 123 + 87 ->(1)
123 = 1 x 87 + 36 ->(2)
87 = 2 x 36 + 15 ->(3)
36 = 2 x 15 + 6 ->(4)
15 = 2 x 6 + 3 ->(5)
6 = 2 x 3 + 0 ->(6)**
由上面的一系列計算有： gcd(123, 456) = 3
那麼如何證明3是123和456的最大公因子呢？
假設n是最大公因子，則其整除123， 456
由等式(1)可知: n整除87
同理可得n整除36、15、6、3
故3是最大公因子
如何求取s、t的取值？
求上面過程的逆過程：
3 = 15 - 2 x 6
3 = 15 - 2(36 - 2 x 15) = 5 x 15 - 2 x 36
3 = 5(87 - 2 x 36) - 2 x 36 = 5 x 87 - 12 x 36
3 = 5 x 87 - 12(123 - 87) = -12 x 123 + 17 x 87
3 = -12 x 123 + 17(456 - 3 x 123) = -63 x 123 + 17 x 456
即求得： s = -63, t = 17
gcd(123, 456) = 3 = -63 x 123 + 17 x 456注意：當d爲1時，我們知道a,b互素，即有:
sa + tb = 1
對等式兩邊模b,有：
as = 1 mod b- 修改的歐幾里得算法
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
擴展的歐幾里得算法
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
模運算
- 剩餘類集/模n的剩餘類 Zn:
比n小的非負整數集合，Zn = {0, 1, 2,,, (n-1)} - 幾種數據表現形式：
- 6Z = {…, -12, -6, 0, 6, 12, …}
- Z6={0,1,2,3,4,5}
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- 模運算
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- 同餘性質
- 如果n|(a-b)，那麼a==b(mod n)
- a==b(mod n)隱含 b==a(mod n)
- a==b(mod n), b==c(mod n)隱含a==c(mod n)
- example:
求11^7 mod 13：
11^2 = 121 == 4 (mod 13)
11^4 = (11^2)^2 == 4^2 == 3 (mod 13)
11^7 == 11 x 4 x 3 == 132 ==2 (mod 13)
乘法逆元
- 定義：
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當x與n互素時，x關於模n的乘法逆元有解。如果不互素，則無解。如果n爲素數，則從1到n-1的任意數都與n互素，即在1到n-1之間都恰好有一個關於模y的乘法逆元。
例如，求5關於模14的乘法逆元:
14=5x2+4
5=4x1+1
很明顯5與14互素，則存在5關於14的乘法逆元。
根據輾轉相除法有：
1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14
因此，5關於模14的乘法逆元爲3。
模冪運算
異或運算
羣、環、域
有限域GF(p)
有限域的階（元素的個數）必須是一個素數的冪p^n，階爲p^n的有限域記爲GF(p^n)
給定一個素數p。元素個數爲p的有限域GF(p)被定義爲整數{0, 1, …, p-1}的集合Zp,其運算爲模p的算術運算
Zp中的所有非零整數都有乘法逆元
- 在GF(p)中求乘法逆元：
對於任意的n,求取Zn內的乘法逆元，由擴展歐幾里得算法有：
nx + by = d = gcd(n, b)= 1
通過輾轉相除法求得y,則有y = b的乘法逆元
基本公式
其中p1, p2, pk均爲素數
