多種解法：Ignatius and the Princess III

Ignatius and the Princess III

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Problem Description

"Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later." feng5166 says.

"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

 

Input

The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.

 

Output

For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.

 

Sample Input

4 10 20

 

Sample Output

5 42 627

“嗯，好像第一個問題太容易了，我會讓你知道你以後會多麼愚蠢。” feng5166說。

“第二個問題是，給定一個正整數N，我們定義一個這樣的公式：
  N = a [1] + a [2] + a [3] + ... + a [m]; 
  a [i] 0,1 <= m <= N; 
我的問題是給定N可以找到多少個不同的方程。
例如，假設N爲4，我們可以發現：
  4 = 4; 
  4 = 3 + 1; 
  4 = 2 + 2; 
  4 = 2 + 1 + 1; 
  4 = 1 + 1 + 1 + 1; 
所以當N爲4時，結果爲5。注意，“4 = 3 + 1”和“4 = 1 + 3”在這個問題上也是一樣的，現在，你做到了！

1，利用母函數，g(x)=(1+x+x^2+x^3+…)(1+x^2+x^4+…)(1+x^3+x^6+…)….

代碼如下：

#include<iostream>
using namespace  std;

int sol(int n)
{
	int a[130],b[130];
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
        a[i]=1;
        b[i]=0;
    }
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n;j++)
			for(int k=0;k*i+j<=n;k++)
				b[k*i+j] += a[j];
		for(int p=0;p<=n;p++)
			a[p]=b[p],b[p]=0;
	}
	return a[n];
}

int main()
{
	int n;
	while(cin >> n)
	{
		cout << sol(n) <<endl;
	}
	return 0;
}

2，整數劃分問題是將一個正整數n拆成一組數連加並等於n的形式，且這組數中的最大加數不大於n。
    如6的整數劃分爲
    
    6
    5 + 1
    4 + 2, 4 + 1 + 1
    3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
    2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    
    共11種。下面介紹一種通過遞歸方法得到一個正整數的劃分數。

遞歸函數的聲明爲int split(int n, int m);其中n爲要劃分的正整數，m是劃分中的最大加數(當m > n時，最大加數爲n)，
    1 當n = 1或m = 1時，split的值爲1，可根據上例看出，只有一個劃分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    可用程序表示爲if(n == 1 || m == 1) return 1;
    
    2 下面看一看m 和 n的關係。它們有三種關係
    (1) m > n
    在整數劃分中實際上最大加數不能大於n，因此在這種情況可以等價爲split(n, n);
    可用程序表示爲if(m > n) return split(n, n);    
    (2) m = n
    這種情況可用遞歸表示爲split(n, m - 1) + 1，從以上例子中可以看出，就是最大加
    數爲6和小於6的劃分之和
    用程序表示爲if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
    (3) m < n
    這是最一般的情況，在劃分的大多數時都是這種情況。
    從上例可以看出，設m = 4，那split(6, 4)的值是最大加數小於4劃分數和整數2的劃分數的和。
    因此，split(n, m)可表示爲split(n, m - 1) + split(n - m, m)

代碼如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int s[130][130];

int split (int n,int m)
{
    if(s[n][m])
        return s[n][m];
    if(n<1||m<1)
        return s[n][m]=0;
    if(n==1||m==0)
        return 1;
    if(n<m)
        return s[n][m]=split(n,n);
    if(n==m)
        return s[n][m]=(split(n,m-1)+1);
    else
        return s[n][m]=(split(n,m-1)+split(n-m,m));
}

int main ()
{
    int n;
    split(120,120);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        printf("%d\n",split(n,n));
    return 0;
}