關於FFT快速傅里葉變換

前一段時間荒廢掉了……一直在糾結zkw大牛的數學歸納法的論文……結果看不懂……

一直很糾結FFT是怎麼實現的

一直以爲FFT是很巧妙的利用數論之類的東西做，所以每次看到這方面的資料就蛋疼，因爲一般都畫了個座標系，然後就懵了……

昨天晚上無聊翻算導看到FFT這一章，就把它學了，發現算導有的時候講細一點還是有好處的，至少看得懂……

首先要明確的一點是FFT是用來求多項式相乘的，高精度乘法只是其中一種應用而已(把基看做多項式中的x)

那麼大致過程是多項式的係數表示->DFT(O(nlogn))->多項式的點值表示->相乘(O(n))->DFT逆變換(O(nlogn))->得到相乘後的多項式係數表示

一直到省選之前應該都比較忙……具體細節以後再來補好了……

我用了complex類，代碼參考自7k+……//今天才知道有complex類……

要注意的是就算complex使用的是double（應該說正因爲使用的是double……），基不能選的很大

在貢獻了若干次wa以後得到的結論是基最好是100000，再高就會爆精度，哪怕用long double也是一樣……

http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=2179

FFT模板題

//Lib
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<climits>

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<complex>
using namespace std;
//Macro
#define rep(i,a,b) for(int i=a,tt=b;i<=tt;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,tt=b;i>=tt;--i)
#define erep(i,e,x) for(int i=x;i;i=e[i].next)
#define irep(i,x) for(__typedef(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++)
#define read() (strtol(ipos,&ipos,10))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define pb push_back
#define PS system("pause");
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef complex<long double> comp;
const int oo=~0U>>1;
const double inf=1e20;
const double eps=1e-6;
const double pi=acos(-1.0);
string name="fft",in=".in",out=".out";
const int maxn=131073;
const comp I=comp(0,1);
const int limit=100000;
//Var
comp A[maxn],B[maxn],C[maxn];
int base[10],len,n,la,lb;
long double d;
char s[100000];
void Getnum(comp num[],int &ln)
{
	scanf("%s",s);
	for(int i=len-1;i>=0;i-=5)
	{
		num[ln]=s[i]-'0';
		rep(j,1,4)if(i>=j)num[ln]=num[ln].real()+(s[i-j]-'0')*base[j];
		ln++;
	}
}
void FFT(comp num[],long double root)
{
	comp w,x;int i,j,k,m,h;
	for(m=n;h=m/2,m>=2;m=h,root*=2)
		for(i=0;i<h;i++)
			for(w=exp(i*root*I),j=i;j<n;j+=m)
				k=j+h,x=num[j]-num[k],num[j]+=num[k],num[k]=w*x;
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++)
	{
		for(k=n/2;k>(i^=k);k/=2);
		if(j<i)swap(num[i],num[j]);
	}
}
void Init()
{
	base[0]=1;rep(i,1,4)base[i]=base[i-1]*10;
	scanf("%d",&len);
	Getnum(A,la);Getnum(B,lb);
}
void Work()
{
	for(n=1;n<la+lb;n<<=1);
	FFT(A,2*pi/n);
	FFT(B,2*pi/n);
	rep(i,0,n-1)C[i]=A[i]*B[i];
	FFT(C,-2*pi/n);
	rep(i,0,n-1)
	{
		C[i]=C[i].real()/n;
		C[i]=C[i].real()+d;
		d=(int)(C[i].real()/limit);
		C[i]=C[i].real()-d*limit;
		if(C[i].real()>99999.9)C[i]=0.0,d++;
		if(C[i].real()<0.1)C[i]=0.0;
	}
	n--;while(n>=0&&fabs(C[n].real())<eps)n--;
	printf("%d",(int)(C[n].real()+0.5));
	drep(i,n-1,0)printf("%05d",(int)(C[i].real()+0.5));
	puts("");
}
int main()
{
//	freopen((name+in).c_str(),"r",stdin);
//	freopen((name+out).c_str(),"w",stdout);
	Init();
	Work();
//	PS;
	return 0;
}