線段樹從零開始

一：爲什麼需要線段樹？

題目一：
10000個正整數，編號1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。
修改：無
統計：1.編號從L到R的所有數之和爲多少？其中1<= L <= R <= 10000.

方法一：對於統計L,R ，需要求下標從L到R的所有數的和，從L到R的所有下標記做[L..R],問題就是對A[L..R]進行求和。

這樣求和，對於每個詢問，需要將(R-L+1)個數相加。

方法二：更快的方法是求前綴和,令 S[0]=0, S[k]=A[1..k] ，那麼，A[L..R]的和就等於S[R]-S[L-1]，

這樣，對於每個詢問，就只需要做一次減法，大大提高效率。

題目二：
10000個正整數，編號從1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。
修改：1.將第L個數增加C （1 <= L <= 10000）
統計：1.編號從L到R的所有數之和爲多少？其中1<= L <= R <= 10000.

再使用方法二的話，假如A[L]+=C之後，S[L],S[L+1],,S[R]都需要增加C,全部都要修改，見下表。

	方法一	方法二
A[L]+=C	修改1個元素	修改R-L+1個元素
求和A[L..R]	計算R-L+1個元素之和	計算兩個元素之差

從上表可以看出，方法一修改快，求和慢。方法二求和快，修改慢。

那有沒有一種結構，修改和求和都比較快呢？答案當然是線段樹。

二：線段樹的點修改

上面的問題二就是典型的線段樹點修改。

線段樹先將區間[1..10000]分成不超過4*10000個子區間，對於每個子區間，記錄一段連續數字的和。

之後，任意給定區間[L,R]，線段樹在上述子區間中選擇約2*log2(R-L+1)個拼成區間[L,R]。

如果A[L]+=C ，線段樹的子區間中，約有log2(10000)個包含了L，所以需要修改log2(10000)個。

於是，使用線段樹的話，

A[L]+=C 需要修改log2(10000) 個元素

求和A[L...R]需要修改2*log2(R-L+1) <= 2 * log2(10000) 個元素。

log2(10000) < 14 所以相對來說線段樹的修改和求和都比較快。

問題一：開始的子區間是怎麼分的？

首先是講原始子區間的分解，假定給定區間[L,R]，只要L < R ，線段樹就會把它繼續分裂成兩個區間。

首先計算 M = (L+R)/2，左子區間爲[L,M]，右子區間爲[M+1,R]，然後如果子區間不滿足條件就遞歸分解。

以區間[1..13]的分解爲例，分解結果見下圖：

問題二：給定區間【L,R】，如何分解成上述給定的區間？

對於給定區間[2,12]要如何分解成上述區間呢？

分解方法一：自下而上合併——利於理解

先考慮樹的最下層，將所有在區間[2,12]內的點選中，然後，若相鄰的點的直接父節點是同一個，那麼就用這個父節點代替這兩個節點（父節點在上一層）。這樣操作之後，本層最多剩下兩個節點。若最左側被選中的節點是它父節點的右子樹，那麼這個節點會被剩下。若最右側被選中的節點是它的父節點的左子樹，那麼這個節點會被剩下。中間的所有節點都被父節點取代。對最下層處理完之後，考慮它的上一層，繼續進行同樣的處理。

下圖爲n=13的線段樹，區間[2,12]，按照上面的敘述進行操作的過程圖：

由圖可以看出：在n=13的線段樹中，[2,12]=[2] + [3,4] + [5,7] + [8,10] + [11,12] 。

分解方法二：自上而下分解——利於計算

首先對於區間[1,13]，計算(1+13)/2 = 7，於是將區間[2,12]“切割”成了[2,7]和[8,12]。

其中[2,7]處於節點[1,7]的位置，[2,7] < [1,7] 所以繼續分解，計算(1+7)/2 = 4, 於是將[2,7] 切割成[2,4]和[5,7]。

[5,7]處於節點[5,7]的位置，所以不用繼續分解，[2,4]處於區間[1,4]的位置，所以繼續分解成[2]和[3,4]。

最後【2】 < 【1,2】，所以計算(1+2)/2=1 ，將【2】用1切割，左側爲空，右側爲【2】

當然程序是遞歸計算的，不是一層一層計算的，上圖只表示計算方法，不代表計算順序。

問題三：如何進行區間統計？

假設這13個數爲1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1. 在區間之後標上該區間的數字之和：

如果要計算[2,12]的和，按照之前的算法：

[2,12]=[2] + [3,4] + [5,7] + [8,10] + [11,12]

29 = 2 + 7 + 6 + 7 + 7

計算5個數的和就可以算出[2,12]的值。

問題四：如何進行點修改？

假設把A[6]+=7 ,看看哪些區間需要修改？[6],[5,6],[5,7],[1,7],[1,13]這些區間全部都需要+7.其餘所有區間都不用動。

於是，這顆線段樹中，點修改最多修改5個線段樹元素（每層一個）。

下圖中，修改後的元素用藍色表示。

問題五：存儲結構是怎樣的？

線段樹是一種二叉樹，當然可以像一般的樹那樣寫成結構體，指針什麼的。

但是它的優點是，它也可以用數組來實現樹形結構，可以大大簡化代碼。

數組形式適合在編程競賽中使用，在已經知道線段樹的最大規模的情況下，直接開足夠空間的數組，然後在上面建立線段樹。
簡單的記法：足夠的空間 = 數組大小n的四倍。
實際上足夠的空間 = （n向上擴充到最近的2的某個次方）的兩倍。
舉例子：假設數組長度爲5，就需要5先擴充成8，8*2=16.線段樹需要16個元素。如果數組元素爲8，那麼也需要16個元素。
所以線段樹需要的空間是n的兩倍到四倍之間的某個數，一般就開4*n的空間就好，如果空間不夠，可以自己算好最大值來省點空間。

怎麼用數組來表示一顆二叉樹呢？假設某個節點的編號爲v,那麼它的左子節點編號爲2*v，右子節點編號爲2*v+1。

然後規定根節點爲1.這樣一顆二叉樹就構造完成了。通常2*v在代碼中寫成 v<<1 。 2*v+1寫成 v<<1|1 。

問題六：代碼中如何實現？

(0)定義：

[cpp] view
plain copy 
  
#define maxn 100007  //元素總個數

int Sum[maxn<<2];//Sum求和，開四倍空間

int A[maxn],n;//存原數組下標[1，n]

(1)建樹：

[cpp] view
plain copy 
  
//PushUp函數更新節點信息，這裏是求和

void PushUp(int rt){Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];}  

//Build函數建立線段樹

void Build(int l,int r,int rt){
//[l,r]表示當前節點區間，rt表示當前

節點的實際存儲位置

    if(l==r) {//若到達葉節點 

        Sum[rt]=A[l];//存儲A數組的值

        return;  

    }  

    int m=(l+r)>>1;  

   //左右遞歸

    Build(l,m,rt<<1);  

    Build(m+1,r,rt<<1|1);  

    //更新信息

    PushUp(rt);  

}

(2)點修改：

假設A[L]+=C:

[cpp] view
plain copy 
  
void Update(int L,int C,int l,int r,int rt){//[l,r]表示當前區間，rt

是當前節點編號//l,r表示當前節點區間，rt表示當前節點編號  

if(l==r){//到達葉節點，修改葉節點的值

        Sum[rt]+=C;  

        return;  

    }  

    int m=(l+r)>>1;  

   //根據條件判斷往左子樹調用還是往右

    if(L <= m) Update(L,C,l,m,rt<<1);

    else       Update(L,C,m+1,r,rt<<1|1);

    PushUp(rt);//子節點的信息更新了，所以本節點也要更新信息

}

點修改其實可以寫的更簡單，只需要把一路經過的Sum都+=C就行了，不過上面的代碼更加規範，在題目更加複雜的時候，按照格式寫更不容易錯。

(3)區間查詢（本題爲求和）：

詢問A[L..R]的和

注意到，整個函數的遞歸過程中，L,R是不變的。

首先如果當前區間[l,r]在[L,R]內部，就直接累加答案

如果左子區間與[L,R]有重疊，就遞歸左子樹，右子樹同理。

[cpp] view
plain copy 
  
int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//[L,R]表示操作區間，

[l,r]表示當前區間，rt:當前節點編號

    if(L <= l && r <= R){  

       //在區間內直接返回

        return Sum[rt];  

    }  

    int m=(l+r)>>1;
 
    //左子區間:[l,m] 右子區間：[m+1,r]  求和區間:[L,R]

   //累加答案

    int ANS=0;  

    if(L <= m) ANS+=Query(L,R,l,m,rt<<1);//左子區間與[L,R]有重疊，遞

歸

    if(R >  m) ANS+=Query(L,R,m+1,r,rt<<1|1);
//右子區間與[L,R]有重疊，遞歸

    return ANS; 

}