題目1 : 歐拉路·一
描述
小Hi和小Ho最近在玩一個解密類的遊戲,他們需要控制角色在一片原始叢林裏面探險,收集道具,並找到最後的寶藏。現在他們控制的角色來到了一個很大的湖邊。湖上有N個小島(編號1..N),以及連接小島的M座木橋。每座木橋上各有一個寶箱,裏面似乎裝着什麼道具。
湖邊還有一個船伕,船伕告訴主角。他可以載着主角到任意一個島上,並且可以從任意一個島上再載着主角回到湖邊,但是主角只有一次來回的機會。同時船伕告訴主角,連接島嶼之間的木橋很脆弱,走過一次之後就會斷掉。
因爲不知道寶箱內有什麼道具,小Hi和小Ho覺得如果能把所有的道具收集齊肯定是最好的,那麼對於當前島嶼和木橋的情況,能否將所有道具收集齊呢?
舉個例子,比如一個由6個小島和8座橋組成的地圖:
主角可以先到達4號小島,然後按照4->1->2->4->5->6->3->2->5的順序到達5號小島,然後船伕到5號小島將主角接回湖邊。這樣主角就將所有橋上的道具都收集齊了。
輸入
第1行:2個正整數,N,M。分別表示島嶼數量和木橋數量。1≤N≤10,000,1≤M≤50,000
第2..M+1行:每行2個整數,u,v。表示有一座木橋連接着編號爲u和編號爲v的島嶼,兩個島之間可能有多座橋。1≤u,v≤N
輸出
第1行:1個字符串,如果能收集齊所有的道具輸出“Full”,否則輸出”Part”。
- 樣例輸入
-
6 8 1 2 1 4 2 4 2 5 2 3 3 6 4 5 5 6
- 樣例輸出
-
Full
小Ho:好麻煩啊,是我的話就隨便走幾步,到沒路可走不就好了麼!
小Hi:那樣的話,收集的道具會少很多,萬一以後要用到,又得重新讀檔了。
小Ho:好吧,讓我先想想。
<兩分鐘後>
小Ho:這個好像是一筆畫問題哎,我們是在求一個方法能夠一筆畫出所有邊吧?
小Hi:沒錯,這就是一筆畫問題,不過它更正式的名字叫做歐拉路問題。其定義是
給定無孤立結點圖G,若存在一條路,經過圖中每邊一次且僅一次,該條路稱爲歐拉路。
小Ho:既然有名字,那就證明這東西有解咯?
小Hi:沒錯,歐拉路是有判定條件的:一個無向圖存在歐拉路當且僅當該圖是連通的且有且只有2個點的度數是奇數,此時這兩個點只能作爲歐拉路徑的起點和終點。
若圖中沒有奇數度的點,那麼起點和終點一定是同一個點,這樣的歐拉路叫做歐拉回路
對於任意一個點來說,從其他點到它的次數和從它到其他點的次數必然是相等的,否則就會出現出去次數和進入次數不同。若進入次數多,則該點位終點,若出去次數多則該點爲起點。
對於一個無向圖來說,進入和出去的次數恰好反映在度的數量上。所以奇數度的點至多隻能有2個。
嚴格的證明的話:
若圖G連通,有零個或兩個奇數度結點,我們總有如下方法構造一條歐拉路:
- 若有兩個奇數度結點,則從其中的一個結點開始構造一條跡,即從v[0]出發經關聯邊e[1]“進入”v[1],若v[1]的度數爲偶數,則必可由v[1]再經關聯邊e[2]進入v[2],如此進行下去,每邊僅取一次。由於G是連通的,故必可到達另一奇數度結點停下,得到一條跡L:v[0]-e[1]-v[1]-e[2]…v[i]-e[i+1]…v[k]。若G中沒有奇數度結點則從任一結點v[0]出發,用上述方法必可回到結點v[0],得到上述一條閉跡L1。
- 若L1通過了G的所有邊,則L1就是歐拉路。
- 若G中去掉L1後得到子圖G′,則G′中每個結點度數爲偶數,因爲原來的圖是連通的,故L1與G′至少有一個結點v[i]重合,在G′中由v[i]出發重複第一步的方法,得到閉跡L2。
- 當L1與L2組合在一起,如果恰是G,則即得歐拉路,否則重複第三步可得到閉跡L3,以此類推直到得到一條經過圖G中所有邊的歐拉路。
不妨看看前面的例子:
對於這個圖來說,編號爲4,5的點度數爲奇數,其他爲偶數。根據上面的性質,我們知道起點和終點一定是4、5節點。我們先從4開始隨便畫一條邊直到無路可走:
在這一步中我們連接了4-5-6-3-2-5。根據歐拉路的構造,我們得到了L1。因爲L1並沒有走過所有的邊,所以我們執行步驟3,可以發現對於4和2都是與子圖G'重合的點,在子圖上我們可以得到L2(2-4-1-2):
L1和L2合併就構成了歐拉路。
小Ho:既然有這個性質,那麼我只需要計算每個點的度數就能知道能否走過所有的邊了。
小Hi:沒錯,但是別忘了最重要的一點,需要整個圖是連通的纔行。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 vector<int> father;
5 vector<int> degree;
6 int N, M;
7 int u, v;
8
9 int findFather(int x) {
10 while (x != father[x]) x = father[x];
11 return x;
12 }
13
14 bool isOK() {
15 int cnt = 0;
16 for (int i = 1; i <= N; ++i) if (father[i] == i) ++cnt;
17 if (cnt != 1) return false;
18 cnt = 0;
19 for (int i = 1; i <= N; ++i) if (degree[i] & 1) {
20 ++cnt;
21 if (cnt > 2) return false;
22 }
23 return true;
24 }
25
26 int main() {
27 while (cin >> N >> M) {
28 father.resize(N + 1);
29 degree.resize(N + 1);
30 for (int i = 1; i <= N; ++i) father[i] = i;
31 for (int i = 0; i < M; ++i) {
32 cin >> u >> v;
33 ++degree[u];
34 ++degree[v];
35 int fu = findFather(u);
36 int fv = findFather(v);
37 if (fu != fv) {
38 if (fu > fv) father[fu] = fv;
39 else father[fv] = fu;
40 }
41 }
42 if (isOK()) cout << "Full" << endl;
43 else cout << "Part" << endl;
44 }
45 return 0;
46 }
人一我百!人十我萬!永不放棄~~~懷着自信的心,去追逐夢想。