回溯、圖論——最大團問題（求最大完全子圖）

 1.問題分析

 要想解決最大團問題，也就是求最大完全子圖。我們需要了解相關概念，現在有如下圖：

（1）完全子圖：

給定無向圖G=（V，E），其中V是頂點集，E是邊集。G'=（V'，E'）如果頂點集V'∈V，E'∈E，且G'種任意兩個點有邊相連，則稱G'是G的完全子圖。例如下面的幾個圖都是上圖的完全子圖：

（2）團：

G的完全子圖是G的團，當且僅當G'不包含在G的更大的完全子圖中，也就是說G'是G的極大完全子圖。比如圖中（c），（d）是G的團，而（a）（b）不是G的團，因爲他們包含在G的更大的完全子圖（c）中。

（3）最大團：

G的最大團是指G的所有團中，含頂點數最大的團，比如說（d）就是最大團。

2.算法設計

（1）約束條件：

最大團問題的解空間包含2^n個子集，這些子集存在集合中的某兩個結點沒邊相連的情況。顯然這種情況的可能姐不是問題的可行解，故需要設置約束條件來判斷是否有情況可能導致問題的可行解。

假設現在擴展結點到t層，那麼1~t-1個結點狀態（是否已經在團裏）已經確定。接下來沿着擴展點左分支進行擴展，此時需要判斷是否將 t結點 放進團裏。則判斷 t結點 和1~t-1 個結點中被選中的結點是否有相連，相連就放進團裏，x[t]=1，否則不放進團裏，x[t]=0.如圖所示：

（2）限界條件（剪枝函數）：

假設當前的擴展結點爲z，如果z處於第t層，前面1~t-1 層的結點的狀態已經確定了。接下來確定t結點的狀態。前t個結點狀態確定當前已放團內的結點個數（用cn表示），假設t+1 ~ n 的所有結點都放進團，用fn表示，且fn=n-t ，則cn+fn是所有從根出發的路徑中經過中間結點z的可行解所包含結點個數的上界。

如果fn+cn小於等於當前最優解bestn，則說明不再需要從中間結點z繼續像子孫結點搜索。因此，限界條件可以描述爲：cn+fn>bestn。

（3）搜索過程：

從根節點開始，以深度遊戲按的方式進行。每次搜索到一個結點，判斷約束條件，看是否可以將當前結點加入到團中。如果可以，則沿着當前結點左分支繼續向下搜索，如果不可以，判斷戒指函數，如果滿足則沿着當前結點的右分支繼續向下搜索。

3.源代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=111; //設置矩陣的大小
int graph[N][N]; //用鄰接矩陣存儲圖
bool x[N]; //是否將i個頂點加入團中
bool bestx[N]; //記錄最優已經放入團中的頂點
int bestn; //記錄最優值
int cn; //已經放入團中的結點數
int n;//頂點個數
int m; //邊的個數

bool place(int t) //判斷是否能放進團中
{
    bool OK =true;
    for (int j=1;j<t;j++)  //判斷目前擴展的t頂點和前面t-1個頂點是否相連。
    {
        if(x[j] && graph[t][j]==0) //如果不相連
        {
            OK=false; //返回false
            break;
        }
    }
    return OK; //如果相連。返回true
}

void backtrack(int t) //回溯，遞推
{
    if(t>n) //當到達葉子結點
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            bestx[i]=x[i]; //記錄最優值結點號
        }
        bestn=cn; //記錄最優值
        return;
    }
    if(place(t)) //如果能放進團中
    {
        x[t]=1;//標爲1
        cn++; //個數+1
        backtrack(t+1); //向下遞推
        cn--; //向上回溯
    }
    if(cn+n-t>bestn) //限界條件，進入右子樹，不能加入團中。
    {
        x[t]=0; //不能放入團中，標爲0
        backtrack(t+1); //向下遞推。
    }
}

int main()
{
    int u; //結點1
    int v; //結點2
    cout << "請輸入結點的個數n；"<< endl;
    cin >> n;
    cout << "請輸入邊數m："<< endl;
    cin >>m;
    memset(graph,0,sizeof(graph));
    cout <<"請輸入有邊相連的兩個頂點u和v："<< endl;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin >> u>> v;
        graph[u][v]=1;
        graph[v][u]=1;
    }
    bestn=0;
    cn=0;
    backtrack(1);
    cout << "最大團的結點個數有："<< bestn << endl;
    cout << "結點有："<< endl;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(bestx[i])
        {
            cout << i << "  "; //輸出的是結點號
        }
    }
    return 0;
}

 

4.測試結果