『算法原理』
最短路徑（Shortest Path）：一個結點到另一個結點的最小權值和。
Dijkstra算法同時也叫單源最短路算法，其思想是——按路徑長度遞增的次序產生最短路的算法。
通俗來講就是，找出從源點開始通過1條邊可以到達的點的最小路徑，2條邊可以到達的點的最小路徑，....，n-1條邊可以到達的點的最小路徑，將權值最小的點加入到集合S中，一直更新到終點位置，找到源點和終點的最小路徑，將所有結點都加入到S中，結束算法。和Prim算法十分類似。
算法步驟如下：
a.找到一個源點s，更新源點和其他結點的距離（權值），如果不能直接到達就先賦值爲無窮大，將源點加入到集合S。
b.更新從源點出發最多經過1條邊就可以到達的點的最小權值，將權值最小的點加入到集合S，最多2條邊就可以的點的最小權值，...，最多n-1條邊就可以的點的最小權值，將權值最小的點加入到集合S。
c.把所有的結點都加入到集合S中，找到源點和終點的最短路徑，結束算法。
【算法圖示】
對於圖G：
a.選擇一個源點A，更新A到B，C，D，E的距離，將A加入到集合S中
b(1).更新從源點開始通過1條邊就可以到達的點，找到其中的權值最小的點B，更新到各結點的權值，將B加入到集合S中
b(2).更新從源點開始最多通過2條邊就可以到達的點，找到未加入到集合S的結點中的權值最小的點D，更新到各結點的權值，將D加入到集合S中
找到未加入到集合S的結點中的權值最小的點C，更新到各結點的權值，將C加入到集合S中
b(3).更新從源點開始最多通過3條邊就可以到達的點， 找到未加入到集合S的結點中的權值最小的點E，更新到各結點的權值，將E加入到集合S中
算法結束。
『算法模板』
【樸素模板】
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 107,INF= 0x3f3f3f3f;
int map[N][N],n,m;
void dijstra(){
int i,j,min,u;
int d[N],vis[N];
//d數組表示從原點到i點的最短距離
//vis用於表達這個點是否已經被選中
for(i=1;i<=n;i++){
d[i]=map[1][i];
vis[i]=0;
}
vis[1] = 1;
for(i=1;i<=n-1;i++){
min=INF;
for(j=1;j<=n;j++) //每次找點的過程，首先這個點沒有被發現，然後找一個最小點
if(vis[j]==0 && d[j]<min){
min=d[j];//記錄最小值
u=j;
}
vis[u] = 1;
for(int v = 1; v <= n; v++)
if(map[u][v]<INF)
if(d[v] > d[u]+map[u][v]) //對每個點依次進行鬆弛操作
d[v] = d[u]+map[u][v];
}
printf("ans = ");
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",d[i]);
}
int main(){
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j =1; j<=n; j++)
if(i == j) map[i][j] = 0;
else map[i][j] = INF;
for(int i = 1,u,v,w; i <= m; i++){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
//printf("%d %d %d\n",u,v,w);
map[u][v] = w;
}
dijstra();
return 0;
}
/*
5 9 1
1 2 10
1 3 3
2 3 1
2 4 2
3 2 4
3 4 8
3 5 2
4 5 7
5 4 9
ans:0 7 3 9 5
*/
【使用堆(priority_queue)優化+vector存圖】
/*****************************
*author:ccf
*source:
*topic:shortest_path_dijkstra_que
*tip:鄰接表使用vector
*******************************/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 5e5+7;
const int INF = 2147483647;
int n,m,s;
int dis[N]; //dis[i] 爲源點到i點的最短路徑
bool vis[N] = {0};//vis[i] = 1,證明 i 已經確定了最短路
struct Node{
int v;//端點的編號
int w;//權值
bool operator < (const Node& b) const{
return w > b.w; //priority_queue總是將最大的元素出列
}
}node;
vector<vector<Node> > G;
void dijkstra(int s){
priority_queue<Node> pq;
node.v = s;//放入起點
node.w = 0;
pq.push(node);
dis[s] = 0;
while(pq.size()){
Node tp = pq.top();pq.pop();//獲取堆頂
int u = tp.v,vv; //u是已經確認最短路徑的點編號，vv是沒有確認的點的編號
if(vis[u]) continue;
vis[u] = true;
int len = G[u].size();
for(int i = 0; i < len; ++i){
vv = G[tp.v][i].v;
if(vis[vv]) continue;
if(dis[vv] > dis[u] + G[u][i].w){//鬆弛操作
dis[vv] = dis[u] + G[u][i].w;
node.v = G[u][i].v,node.w = dis[vv];
pq.push(node);
}
}
}
}
int main(){
freopen("data.in","r",stdin);
scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
G.resize(n+7);
G.clear();
for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;
for(int i = 1,u,v,w; i <= m; ++i){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
node.v = v;
node.w = w;
G[u].push_back(node);
}
dijkstra(s);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
printf("%d ",dis[i]);
return 0;
}
【使用堆(priority_queue)優化+鏈式前向星存圖】
/*****************************
*author:ccf
*source:POJ-
*topic:
*******************************/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <queue>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e4+7,M = 5e5+7;
const int INF = 2147483647;
int n,m,s;
int dis[N]; //dis[i] 爲源點到i點的最短路徑
bool vis[N] = {0};//vis[i] = 1,證明 i 已經確定了最短路
int head[N],nex[M],to[M],eg[M],cnt_e = 0;
struct Node{
int v;//端點的編號
int w;//權值
bool operator < (const Node& b) const{
return w > b.w; //priority_queue總是將最大的元素出列
}
}node;
void addedge(int u,int v,int w){
nex[++cnt_e] = head[u];
head[u] = cnt_e;
to[cnt_e] = v;
eg[cnt_e] = w;
}
void dijkstra(){
for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;
priority_queue<Node> pq;
node.v = s;
node.w = 0;
pq.push(node);
dis[s] = 0;
while(pq.size()){
int u = pq.top().v;
pq.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for(int i = head[u],vv; i; i = nex[i]){
vv = to[i];
if(dis[vv] > dis[u] + eg[i]){
dis[vv] = dis[u] + eg[i];
//node.w = dis[vv];node.v = vv;
pq.push((Node){vv,dis[vv]});
}
}
}
}
int main(){
//freopen("data.in","r",stdin);
scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
for(int i = 1,u,v,w; i <= m; ++i){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
addedge(u,v,w);
}
dijkstra();
for(int i = 1; i <= n; ++i)
printf("%d ",dis[i]);
return 0;
}
例題：洛谷 P3371 【模板】單源最短路徑（弱化版）https://www.luogu.com.cn/problem/P3371
