洛谷 P4378 —— 樹狀數組求逆序對

題意：
求冒泡排序算法的“趟數”
思路：
一趟冒泡排序可以可以還原一個數的一個逆序對，那麼我們需要求出一個數最多的逆序對個數就是冒泡的趟數。
拿樣例來舉個例子：

5
1
5
3
8
2
有逆序對（5,3）(5,2)(3,2)(8,2)  其中逆序對最多的是 2
第一趟冒泡以後 變成 1 3 5 2 8 消除了(5，3)和(8，2)
第二趟冒泡以後 變成 1 3 2 5 8 消除了(5，2)
第三趟冒泡以後 變成 1 2 3 5 8 消除了(3，2)

除了樸素求逆序對，常見的求逆序對主要有兩種方法。

1. 歸併排序求逆序對
2. 樹狀數組求逆序對

此題用歸併排序的方法無法確認最多的逆序對個數（也可能存在，但是我不會…）
所以採用樹狀數組求逆序對，順便記錄一下樹狀數組求逆序對的原理：
衆所周知，樹狀數組主要是用來維護前綴和，所以我們要把求逆序對的問題轉換成一個前綴和問題。
步驟：

1. 先將數列排序
2. 然後按原序列的順序，把數列中的數插入到樹狀數組中。在插入數的時候，將已經插入的數所在的位置 $i$ ，打一個標記值 設$bk[i] = 1$，每次拿已經插入的數字個數 $tot$ - $bk[]$ 的前 $i$項和 把其中的差累加就是 逆序對的個數。
   拿樣例來舉個例子：
   

• 第一次插入 $1$ ，在下標 $1$ 下面打個標記 1，共插入$tot = 1$個數，前 $1$ 個數的前綴和爲$sum = 1，tot - sum = 0，ans = 0$

• 第二次插入 $5$ ，在下標 $4$ 下面打個標記 1，共插入$tot = 2$個數，前 $4$ 個數的前綴和爲$sum = 2，tot - sum = 0，ans = 0$

• 第三次插入 $3$ ，在下標 $3$ 下面打個標記 1，共插入$tot = 3$個數，前 $3$ 個數的前綴和爲$sum = 2，tot - sum = 1，ans += 1，ans = 1$

• 第四次插入 $8$ ，在下標 $5$ 下面打個標記 1，共插入$tot = 4$個數，前 $5$ 個數的前綴和爲$sum = 4，tot - sum = 0，ans = 0$

• 第五次插入 $2$ ，在下標 $2$ 下面打個標記 1，共插入$tot = 5$個數，前 $2$ 個數的前綴和爲$sum = 2，tot - sum = 3，ans += 3,ans = 4$

共4個逆序對。
原理：
注：$a[]$是排好序的數列。

因爲插入的順序是原數組的順序，但是標記按排好序的順序打的，這完全符合逆序對的定義：假設在原數組中 $a[i]$ 排在 $a[j]$ 前面，我們先插入$a[i],i$ 處打上標記，然後再插入$a[j],j$ 處打上標記， 此時如果$i<j$，$i$ 在 $j$的前面 ，我們統計前 $j$ 個數的前綴和$sum$是可以統計到 $i$ 的，相反如果$i>j$,$i$ 就在 $j$ 的後面，我們就統計不到，所以在 $j$ 前面插入 ，又大於$a[j]$的數就可以和$a[j]$ 構成逆序對。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
 
const int N = 1e5+7;
int n,tree[N];
int ans;
void add(int k,int num)
{
    while(k<=n)
    {
        tree[k]+=num;
        k+=k&-k;
    }
}
 
int read(int k)
{
    int sum=0;
    while(k)
    {
        sum+=tree[k];
        k-=k&-k;
    }
    return sum;
}
struct node
{
    int val,pos;
}a[N];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.val < b.val;
}
int main(void)
{
	//freopen("data.in","r",stdin);
    int i,j;
    int b[N];
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i].val);
            a[i].pos = i;
        }
        sort(a+1,a+1+n,cmp);
        int cnt = 1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i != 1 && a[i].val != a[i-1].val)
                cnt++;
            b[a[i].pos] = cnt;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            add(b[i],1);
            ans = max(ans,i - read(b[i]));
        }
        printf("%lld\n",ans+1);
    }
    return 0;
}