二、矩陣及其運算

一、定義

由m×n個數$a_{ij}$（$i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n$）排成的m行n列的數表稱爲m行n列矩陣
$A=\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}\end{array}\right)$

二、特殊矩陣

2.1、實矩陣

所有元素均爲實數的矩陣

2.2、復矩陣

所有元素均爲複數的矩陣

2.3、零矩陣

所有元素均爲0的矩陣

2.4、負矩陣

所有元素均爲負數的矩陣

2.5、方陣

行列相等的矩陣，簡稱n階方陣，記作$A_n$

2.6、行（列）矩陣

只有一行（列）的矩陣

2.7、對角陣

主對角線以外的元素都是0，記作$\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right)$

2.8、單位陣

主對角線全爲1，其它元素都是0，記作E

2.9、純量陣（數量矩陣）

$\lambda E=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda} \\ {} & {\lambda} \\ {} & {} & {\ddots} \\ {} & {} & {} & {\lambda}\end{array}\right)$

2.10、上（下）三角矩陣

主對角線以下（上）的元素都爲0的矩陣

2.11、（反）對稱矩陣

沿主對角線對應位置的元素相等的矩陣，記作$a_{ij}=a_{ji}$
$\left(\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {-1} \\ {1} & {2} & {4} \\ {-1} & {4} & {3}\end{array}\right)$

2.11.1性質

1. 兩個同階對稱矩陣，其和、差、數乘也是對稱的；
2. 兩個同階對稱矩陣，其乘積不是對稱的；
3. $A=A^T$
4. A,B對稱，AB對稱的充要條件是AB可交換

2.12、反對稱矩陣

主對角線全爲0，沿主對角線對應位置的元素互爲相反數的矩陣，記作$a_{ij}=-a_{ji}$
$\left(\begin{array}{ccc}{0} & {1} & {-3} \\ {-1} & {0} & {-4} \\ {3} & {4} & {0}\end{array}\right)$

2.12.1、性質

1. 兩個同階對稱矩陣，其和、差、數乘也是反對稱的；
2. 兩個同階對稱矩陣，其乘積不是反對稱的；
3. $A=-A^T$

三、矩陣運算

3.1、加（減）法性質

1. $A+B=B+A$
2. $(A+B)+C=A+(B+C)$
3. $A+O=A$
4. $A-A=O$
5. $A+B=CA=C-B$

3.2、數乘運算

數λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ

3.2.1、性質

1. $(λμ)A =λ(μA)$
2. $(λ+μ)A =λA+μA$
3. $λ(A+B)=λA+λB$

3.3、矩陣相乘

設A是一個m×s矩陣，B是一個s×n矩陣，那麼規定矩陣A與矩陣B的乘積是一個m×n矩陣C

$c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i j} b_{j j}=\sum_{k=1}^{s} a_{i k} b_{k j}(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)$

3.3.1、性質

1. $AB≠BA$
2. 若$AB=BA$，則A、B可交換
3. $(AB)C=A(BC)$
4. $λ(AB)=(λA)B=A(λB)$
5. $A(B+C)= AB +AC, (B+C)A =BA+CA$

四、矩陣轉置

把矩陣A的行換成同序數的列得到一個新矩陣，叫做A的轉置矩陣記作$A^T$

4.1、性質

1. $(A^T)^T=A$
2. $(A+B)^T = A^T +B^T$
3. $(λA)^T=λA^T$
4. $(AB)^T=B^TA^T$

五、矩陣的行列式

由n階方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱爲方陣A的行列式，記作$det(A)$或$|A|$。

5.1、性質

1. $|A^T|=|A|$
2. $|λA|=λ^n|A|$
3. $|AB|=|A||B|$

六、伴隨矩陣

行列式$|A|$的各個元素的代數餘子式$A_{ij}$所構成的如下的矩陣
$A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}{A_{11}} & {A_{21}} & {\cdots} & {A_{n 1}} \\ {A_{12}} & {A_{22}} & {\cdots} & {A_{n 2}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {A_{1 n}} & {A_{2 n}} & {\cdots} & {A_{n n}}\end{array}\right)$

稱爲矩陣A的伴隨矩陣

6.1、性質

1. $AA^* =A^*A =|A|E$ 永遠成立
2. $|A^*|=|A|^{n-1}$ 永遠成立

七、逆矩陣

對於n階矩陣$A$，如果有一個n階矩陣$B$，使$AB=BA=E$，則說矩陣$A$是可逆的，並把矩陣$B$稱爲$A$的逆矩陣，簡稱逆陣，記作$A^{-1}$

7.1、定理

1. 未必所有方陣均可逆；

2. 若方陣$A$可逆，其逆矩陣$A^{-1}$唯一；

3. 若矩陣$A$可逆，則$|A|≠0$

4. 若$|A|≠0$，則矩陣A可逆(非奇異、非退化、滿秩)，且
   $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
   其中 $A^*$ 是A的伴隨矩陣

5. 由定理4，退出$A^*=|A|A^{-1}$

6. 若$AB=E$（或$BA=E$），則 $B=A^{-1}$

7.2、性質

1. 若$A$可逆，則$A^{-1}$亦可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$
2. 若$A$可逆，數$λ≠0$，則$λA$可逆，且
   $(λA)^{-1}=\frac{1}{λ}A^{-1}$
3. 若A、B爲同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
4. 若A可逆，則$A^T$亦可逆，且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
5. 若A可逆，則$|A^{-1}|=|A|^{-1}$
6. 若A可逆，則$A^*$也可逆，且
   $(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A=|A|^{-1}A$

7.3、如何求$A^{-1}$

1. 伴隨矩陣法
2. 初等變換法

八、分塊矩陣

對於行數和列數較高的矩陣A，運算時常採用分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算。將矩陣 A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱爲A的子塊，以子塊爲元素的形式上的矩陣稱爲分塊矩陣。

$A=\left( \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cc:cc} {a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} & {a_{14}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} & {a_{24}} \\ \hdashline {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}} & {a_{34}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{A_{11}} & {A_{12}} \\ {A_{21}} & {A_{22}}\end{array}\right)$

8.1、分塊矩陣的運算

8.1.1、加法

$\left( \begin{array}{ll} {A_{1}} & {A_{2}} \\ {A_{3}} & {A_{4}} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ll} {B_{1}} & {B_{2}} \\ {B_{3}} & {B_{4}} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ll} {A_{1}+B_{1}} & {A_{2}+B_{2}} \\ {A_{3}+B_{3}} & {A_{4}+B_{4}} \end{array} \right)$

8.1.2、數乘

$k\left( \begin{array}{l} {A_{1}} & {A_{2}} \\ {A_{3}} & {A_{4}} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ll} {k A_{1}} & {k A_{2}} \\ {k A_{3}} & {k A_{4}} \end{array}\right)$

8.1.3、乘法

$\left( \begin{array}{l} {A_{1}} & {A_{2}} \\ {A_{3}} & {A_{4}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} {B_{1}} & {B_{2}} \\ {B_{3}} & {B_{4}} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ll} {A_{1}B_{1}+A_{2}B_{3}} & {A_{1}B_{2}+A_{2}B_{4}} \\ {A_{3}B_{1}+A_{4}B_{3}} & {A_{3}B_{2}+A_{4}B_{4}} \end{array}\right)$

8.1.4、對角型分塊矩陣乘法

$AB=\left(\begin{array}{cccc} {A_1B_1} \\ {} & {A_2B_2} \\ {} & {} & {\ddots} \\ {} & {} & {} & {A_kB_k} \end{array}\right)$

8.1.5、對角型分塊矩陣加法

$AB=\left(\begin{array}{cccc} {A_1+B_1} \\ {} & {A_2+B_2} \\ {} & {} & {\ddots} \\ {} & {} & {} & {A_k+B_k} \end{array}\right)$

8.1.6、轉置

$\text {設}A=\left(\begin{array}{ccc}{A_{11}} & {\cdots} & {A_{1 r}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {A_{s 1}} & {\cdots} & {A_{s r}}\end{array}\right) \text {，則} A^{T}=\left(\begin{array}{ccc}{A_{11}^{T}} & {\cdots} & {A_{s 1}^{T}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {A_{1 r}^{T}} & {\cdots} & {A_{w}^{T}}\end{array}\right)$

8.1.7、逆矩陣

設A爲n階方陣，若A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其餘子塊都爲零矩陣，且在對角線上的子塊都是方陣
$A=\left(\begin{array}{cccc}{A_{1}} & {} & {} & {O} \\ {} & {A_{2}} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {O} & {} & {} & {A_{s}}\end{array}\right)$
若A可逆，其逆矩陣爲：
$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{A_{1}^{-1}} & {} & {} & {O} \\ {} & {A_{2}^{-1}} & {} \\ {} & {} & {\ddots} \\ {O} & {} & {} & {A_{s}^{-1}}\end{array}\right)$