(1) 玩家：2人；
(2) 道具：23張撲克牌；
(3) 規則：
遊戲雙方輪流取牌；
每人每次僅限於取1張、2張或3張牌；
撲克牌取光，則遊戲結束；
最後取牌的一方爲勝者。
想一下。。
首先申明一點，博弈的討論是在大家都玩的最好的情況下討論的。（如果2個玩家智商有差別，那就沒法討論了～～～～開個玩笑哈。）
介紹概念：P點 即必敗點，某玩家位於此點，只要對方無失誤，則必敗；
N點 即必勝點，某玩家位於此點，只要自己無失誤，則必勝。
定理：
一、 所有終結點都是必敗點P（上游戲中，輪到誰拿牌，還剩0張牌的時候，此人就輸了，因爲無牌可取）；
二、所有一步能走到必敗點P的就是N點；
三、通過一步操作只能到N點的就是P點；
自己畫下圖看看。
x ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
pos：P N N N P N N N P N N 。。。
所以若玩家甲位於N點。只要每次把P點讓給對方，則甲必勝；
反之，若玩家甲位於P點，他每次只能走到N點，而只要乙每次把P點讓給甲，甲必敗；
這裏好好理解下；
如果上面的理解的。請解決下面的題目：HDU 1846 2147（注意題目限制內存）（先2道練練手，做不出的話提示：找規律）
接下來介紹Nim遊戲（同樣引用杭電上的，懶的打字）
1.有兩個玩家；
2. 有三堆撲克牌（比如：可以分別是 5，7，9張）；
3. 遊戲雙方輪流操作；
4. 玩家的每次操作是選擇其中某一堆牌，然後從中取走任意張；
5.最後一次取牌的一方爲獲勝方；
想一會：
還記得剛纔說的P點和N點嗎？P：必敗點，N：必勝點
先給出結論，這裏要用到位運算，異或:^
遊戲的某個位置（x1,x2,x3) x1,x2,x3表示3堆的個數。當且僅當 x1^x2^x3=0時，此點纔是必敗點P；
結論可以推廣到一般情況，即有n堆，(x1,x2,x3,…xn) 當且僅當x1^x2^x3…^xn=0時，此點纔是必敗點P；
如要看證明過程，鏈接在此 http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617，看不懂的可以問 我（汗。。）
練習：HDU 2188 2149 （做不出的話先看下面的，然後多思考）
下面介紹sg函數（解決博弈問題的王道）
sg 即Graph Game，把博弈遊戲抽象成有向無環圖
(1) 有向無環圖
(2) 玩家1先移動，起點是x0
(3) 兩個玩家輪流移動
(4) 對於頂點x, 玩家能夠移動到的頂點集記爲F(x).
(5) 不能移動的玩家會輸掉遊戲
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
定義: 一個圖的Sprague-Grundy函數(X,F)是定義在X上的非負函數g(x)，並且滿足：
g(x) = mex{g(y) : y∈F(x)}
看到這裏先好好理解一下sg值是怎麼求的；
如果在取子游戲中每次只能取{1,2,3}，那麼各個數的SG值是多少？
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…
g(x) 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…
看看這個和上面那個圖的規律：
P-點: 即令 g(x) = 0 的 x 點！
N-點: 即令 g(x) > 0 的 x 點！
練習 HDU 1847 1849 1850 （做不出的話先看下面的，然後多思考）
最後看下組合博弈，就是把簡單的遊戲組合起來，比如3堆的可以看成3個一堆的遊戲。
定理：
假設遊戲 Gi的SG函數是gi, i=1,…,n, 則
G = G1 + … + Gn 的 SG函數是
g(x1,…,xn) = g1(x1)⊕…⊕gn(xn).
其中那個符合就是異或^。
SG函數模板
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Grundy函數g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的後繼 },這裏的g（x）即sg[x]
例如：取石子問題，有1堆n個的石子，每次只能取{1，3,4}個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的SG值爲多少？
sg[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1時，可以取走1-f{1}個石子，剩餘{0}個，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
x=2時，可以取走2-f{1}個石子，剩餘{1}個，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
x=3時，可以取走3-f{1,3}個石子，剩餘{2,0}個，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;
x=4時，可以取走4-f{1,3,4}個石子，剩餘{3,1,0}個，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5時，可以取走5-f{1,3,4}個石子，剩餘{4,2,1}個，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
以此類推…..
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8….
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1….
計算從1-n範圍內的SG值。
f(存儲可以走的步數，f[0]表示可以有多少種走法)
f[]需要從小到大排序
1.可選步數爲1~m的連續整數，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2.可選步數爲任意步，SG(x) = x;
3.可選步數爲一系列不連續的數，用GetSG()計算
模板1如下（SG打表）：
//f[]：可以取走的石子個數
//sg[]:0~n的SG函數值
//hash[]:mex{}
int f[N];//可以取走的石子個數
int sg[N];//0~n的SG函數值
int Hash[N];
void getSG(int n){
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(int i = 1; i <= n; i++){
memset(Hash,0,sizeof(Hash));
for(int j = 1; f[j] <= i; j++)
Hash[sg[i-f[j]]] = 1;
for(int j = 0; j <= n; j++){ //求mes{}中未出現的最小的非負整數
if(Hash[j] == 0){
sg[i] = j;
break;
}
