動態規劃初步_數字三角形（遞歸，遞推，數字化搜索）

題目：給出了一個數字三角形，請編寫一個程序，計算從頂至底的某處的一條路徑，使該路徑所經過的數字的總和最大。

（1）每一步可沿左斜線向下或右斜線向下
（2）1 < 三角形行數 < 100
（3）三角形數字爲0，1，…99

輸入：

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

輸出：

34

遞歸計算

思路：不斷的進行遞歸運算，找出左右子樹最大值，再帶入。

#include <stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int d[MAX][MAX],a[MAX][MAX];
int n;
int maxSum(int i,int j){
    if(i==n) return a[i][j];
    else
    return max(maxSum(i+1,j),maxSum(i+1,j+1))+a[i][j];
}
int main() {
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=i;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    printf("%d\n",maxSum(1,1));
    return 0;
}

遞推運算

思路：時間複雜度0(n^2)，i是逆序枚舉的，因此再計算d[i+1][j]前，它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]一定已經算出來了。

#include <stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int d[MAX][MAX],a[MAX][MAX];
int n;
int main() {
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=i;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];
    for(i=n-1;i>=1;i--){
        for(j=1;j<=i;j++){
            d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);
        }
    }
    printf("%d\n",d[1][1]);
    return 0;
}

記憶化搜索

思路：保證每個節點只訪問一次，時間複雜度爲O(n^2).

#include <stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int d[MAX][MAX],a[MAX][MAX];
int n;
int maxSum(int i,int j){
    if(d[i][j]>0) return d[i][j];
    if(i==n){
        d[i][j]=a[i][j];
    }
    else{
        d[i][j]=a[i][j]+max(maxSum(i+1,j),maxSum(i+1,j+1));
    }
    return d[i][j];
}
int main() {
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=i;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    memset(d,-1,sizeof(d));
    printf("%d\n",maxSum(1,1));
    return 0;
}