二維樹狀數組

二維樹狀數組

• 二維樹狀數組
  二維樹狀數組實質上是一維樹狀數組的擴充。
  
  二維樹狀數組的定義爲：C[x] [y] = ∑ a[i][j] ， (x -= lowbit(x), y -= lowbit(y), 1≤ i ≤x, 1≤ j ≤y) 。
  當 x=1 時，就變成了 C[1] [y] = ∑ a[1][j] ， ( y -= lowbit(y), 1≤ j ≤y) 。通過固定 x 的值，就將二維樹狀數組降到了一維樹狀數組。
  
  所以，二維樹狀數組，在固定一個維度時，在另一個維度上看，就是一個一維樹狀數組，所以說二維樹狀數組是基於一維樹狀數組的，僅僅是增添了一維，在實現的時候嵌套進去就可以了，還是比較容易理解的。
  
  下面看一下實現。

• 更新

  void add(int x, int y, int d){  //x,y分別是一維和二維，d是要加上或者減去的數
  	int yy = y;
      while(x<=MAX){
      	y = yy;
      	while(y<=MAX){
      		tree[x][y] += d;
      		y += lowbit(y);
      	}
          x += lowbit(x);
      }
  

  建立初始的樹狀數組，實質上就是不斷調用 add() 函數，從而完成初始化。

• 查詢

  int sum(int x, int y){
  	    int sum = 0, yy = y;
  	    while(x>0){
  	    	y = yy;
  	    	while(y>0){
  	    		sum += tree[x][y];
  	    		y -= lowbit(y);
  	    	}
  	        x -= lowbit(x);
  	    }
  	    return sum;
  	}
  

  二維樹狀數組的查詢，查詢的是一個子矩陣，如下圖：
  sun(5, 5) 是橙色框中的子矩陣的元素之和
  

• 更高維度的樹狀數組同二維樹狀數組的原理是一樣的，在實現時，只是層次嵌套的問題。