算法學習-分治法

設計思想

對於規模爲n的問題，如果可以直接解決就解決，否則將其分爲k個規模較小的問題，這些子問題相互獨立並且和原來問題的形式相同，遞歸地解決這些子問題，之後再將子問題的解合併得到原問題的解

分治法常常採用遞歸的技術，每一層遞歸上都有三個步驟

1. 分解
2. 求解子問題
3. 合併

快速排序的例子

快速排序的思想就是選一個基準（通常是首項），把比它小的排到它前面，比它大的排到它後面，這稱作一次劃分，然後對兩個子序列再做劃分，直到子序列裏只有一個元素或者爲空

f(a,s,t) = do nothing // s..t < 2
f(a,s,t) = i = partition(a,s,t)
           f(a,s,i-1)
           f(a,i+1,t)

int Partition(int a[]，int s，int t)	//劃分算法
{   int i=s，j=t;
    int tmp=a[s];	//用序列的第1個記錄作爲基準
    while (i!=j)	//從序列兩端交替向中間掃描，直至i=j爲止     
    {   while (j>i && a[j]>=tmp) 
　　　　　　j--;    	//從右向左掃描，找第1個關鍵字小於tmp的a[j]
        a[i]=a[j];	//將a[j]前移到a[i]的位置
        while (i<j && a[i]<=tmp) 
　　　　　　i++;   	//從左向右掃描，找第1個關鍵字大於tmp的a[i]
        a[j]=a[i];	//將a[i]後移到a[j]的位置
　　}
　　a[i]=tmp;
　　return i;
}

求解最大連續子列和問題的例子

將子列從中間開始分爲兩個部分，那麼最大連續子列的出現就有三種情況

1. 完全在mid的左邊
2. 完全在mid的右邊
3. 從左到右跨過了mid

那麼最後的結果就是三種情況下的最大值

long maxSubSum(int a[]，int left，int right)	
//求a[left..high]序列中最大連續子序列和
{  int i，j;
   long maxLeftSum，maxRightSum;
   long maxLeftBorderSum，leftBorderSum;
   long maxRightBorderSum，rightBorderSum;
   if (left==right)		//子序列只有一個元素時
   {　　if (a[left]>0) 	//該元素大於0時返回它
　　　　　　return a[left];
　　　　else			//該元素小於或等於0時返回0
　　　　　　　return 0; 
   } 
　　int mid=(left+right)/2;			//求中間位置
　　maxLeftSum=maxSubSum(a，left，mid);	//求左邊
　　maxRightSum=maxSubSum(a，mid+1，right);	//求右邊
　　maxLeftBorderSum=0，leftBorderSum=0;
　　for (i=mid;i>=left;i--)　			//求出以左邊加上a[mid]元素
　　{  leftBorderSum+=a[i];　			//構成的序列的最大和
　     if (leftBorderSum>maxLeftBorderSum)
　　　　　　maxLeftBorderSum=leftBorderSum;
　　}
　　maxRightBorderSum=0，rightBorderSum=0;
　　for (j=mid+1;j<=right;j++)		//求出a[mid]右邊元素
　　{  rightBorderSum+=a[j];  		//構成的序列的最大和
　　   if (rightBorderSum>maxRightBorderSum)
　　　　　　maxRightBorderSum=rightBorderSum;
　　}
　　return max3(maxLeftSum，maxRightSum，
		   maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum); 
}