數據結構（9）——樹

樹的定義：
樹是n個結點的有限集。n=0時稱爲空樹。在任意一棵非空樹中：
1.有且僅有一個特定的稱爲根結點

2.n > 1時，其餘結點可分爲m個互不相交的有限集T1、T2、......Tm，其中每個集合本身有時一棵樹，並且稱爲根的子樹。如下圖：

子樹T1，T2是上面的子樹

關於樹的定義要注意以下兩點：
1.n>0時根結點是唯一的。
2.m>0時，子樹的個數沒有限制，但它們一定是互不相交的

結點擁有的子樹稱爲結點的度。度爲0的結點稱爲葉結點或者終端結點；度不爲0的結點稱爲非終端結點或分支結點。除根結點外，分支結點也稱爲內部結點。樹的度是樹內各結點的度的最大值。

結點的子樹的根稱爲該結點的孩子，相應的，該結點稱爲孩子的雙親。同一個雙親的孩子之間互稱兄弟。結點的祖先是從根到該結點所經分支上的所有結點。

以某結點爲根的子樹中的任一結點都稱爲該結點的子孫。

樹的其他相關概念：
結點的層次從根開始定義起，根爲第一層，根的孩子爲第二層。樹中結點的最大層次稱爲樹的深度或高度。上面示意圖樹的深度是4。

如果將樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的，不能互換的，則稱爲該樹是有序樹，否則稱爲無序樹。
森林是m棵互不相交的樹的集合。

線性結構與樹結構的不同：

線性結構：
第一個數據元素沒有前驅，最後一個數據元素沒有後繼，中間元素一個前驅一個後繼
樹結構：
根結點無雙親，唯一；葉結點無孩子，可以多個；中間結點：一個雙親多個孩子

樹的存儲結構：
1.雙親表示法：
在每個結點中，設一個指示器指示其雙親結點到鏈表中的位置。如下圖：

data是數據域，parent是指針域。

<span style="font-size:18px;">/*結點定義*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct PTNode
{
    int data;   //結點數據，類型根據實際情況而定
    int parent;  //雙親位置
}PTNode;
typedef struct    //樹結構
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];   //結點數組
    int r,n;    //根的位置和結點數
}PTree；</span>

下標	data	parent
0	A	-1
1	B	0
2	C	0
3	D	1
4	E	2
5	F	2
6	G	3
7	H	3
8	I	3
9	J	4

當parent爲-1時，表示找到了樹的根結點

2.孩子表示法：

每個結點有多個指針域，其中每個指針指向一棵子樹的根結點，這種方法叫做多重鏈表表示法。有兩種方案來解決孩子個數不同的問題。

方案一：一種是指針域的個數等於樹的度
顯然這種方法浪費空間

方案二：一種是指針域的個數等於樹的度，專門取一個位置來存儲結點指針域的個數

這種方法克服了浪費空間的缺點，空間利用率提高了，但是在時間上的損耗變多了。

以上兩種方法都有一定的缺點，而孩子表示法則沒有上述兩種方法的缺點。孩子表示法是指把每個結點的孩子結點排列起來，以單鏈表作存儲結構，則n個結點有n個孩子鏈表，如果是葉子結點則此單鏈表爲空。然後n個頭指針又組成一個線性表，採用順序存儲結構，存放進一個一維數組中。如下圖：

孩子法的結構定義代碼：

<span style="font-size:18px;">#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode
{
    int child;
    struct CTNode *next;
}ChildPtr;
int struct  //表頭結構
{
    int data;
    ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int r,n;
}CTree;</span>

3.孩子兄弟表示法：

任意一棵樹，它的結點的第一個孩子如果存在唯一的，它的有兄弟如果存在也是唯一的。因此我們設置兩個指針，分別指向該結點的 第一個孩子和此結點的右兄弟。結點結構如下表：

data

firstchild

rightsib

結構定義代碼如下：

typedef struct CSNode
{
    int data;
    struct CSNode 8firstchild,*rightsib;
}CSNode,*CSTree;

示意圖如下：