斜率優化

之前一直不會
今天偶遇HNOI2008玩具裝箱
手玩了一早上
後來發現都是錯的

[HNOI2008]玩具裝箱toy

P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號爲1…N的N件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度爲Ci.爲了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容器中有多個玩具，那麼兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一個容器中，那麼容器的長度將爲 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 製作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度爲x,其製作費用爲(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以製作出任意長度的容器，甚至超過L。但他希望費用最小.
Input
第一行輸入兩個整數N，L.接下來N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
輸出最小費用
Sample Input
5 4

3

4

2

1

4

Sample Output
1

簡單算法
直接當前j個合併循環取最小
-1的原因是從j+1合併到i

fi=minfj+(s[i]−s[j]+i−j−1−l)2

那麼無疑N^2的複雜度會炸
那麼我們發現這種算法可以變一下形
首先我們讓讓s[i]=s[i]+i
l++
這時我們發現
f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]-l)^2)
分離其中的常量
f[i]=min(f[j]+s[j]^2-2s[j]s[i]+s[j]L)+(s[i]-l)^2
之後
z=fi-(si-l)^2
k=2ai
x=aj
y=fj+sj^2+2aj*l
z=min(-kx+y)
那麼就有一些奇怪的性質
或者（借鑑的黃學長）
求斜率方程

因爲dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2

展開

dp[k]+f[i]^2-2*f[i](f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]+f[i]^2-2*f[i](f[j]+c)+(f[j]+c)^2

即

dp[k]-2*f[i](f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]-2*f[i](f[j]+c)+(f[j]+c)^2

即(dp[k]+(f[k]+c)^2-dp[j]-(f[j]+c)^2)/2*(f[k]-f[j])<=f[i]

那麼此時j是優於那麼我們已知i的相關值記下已知的k爲最優斜率（最大或最小），如果新入點更優就更新，否則就排除。

#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 1000000000
#define ll long long
using namespace std;
ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,L,l,r;
int c[50005],q[50005];
ll s[50005],f[50005],C;
double slop(int j,int k)
{
    return (f[k]-f[j]+(s[k]+C)*(s[k]+C)-(s[j]+C)*(s[j]+C))/(2.0*(s[k]-s[j]));
}
void dp()
{
    l=1;r=0;q[++r]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<=s[i])l++;
        int t=q[l];//更新最優的k
        f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-C)*(s[i]-s[t]-C);//對這個i找最優的j
        while(l<r&&slop(q[r],i)<slop(q[r-1],q[r]))r--;
        q[++r]=i;更新最優的j
    }
}
int main()
{
    n=read();L=read();C=L+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=i;
    dp();
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}

這裏先借個代碼
還是很好寫的