LCA倍增法

LCA在線倍增法實際上是將上升的步數用二進制來表示，經過試跳一個級數來確定是否可以上升，最終找到LCA，整個路徑長度假設是n的話，這個過程就是O(logn)的。

代碼如下

1. DFS預處理出所有節點的深度和父節點

void dfs(int u)
{
  int i;
  for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])  
  {  
    if (!deep[to[i]])
    {			
      deep[to[i]] = deep[u]+1;
      p[to[i]][0] = u; //p[x][0]保存x的父節點爲u;
      dfs(to[i]);
    }
  }
}

2. 初始各個點的2^j祖先是誰 ,其中 2^j (j =0...log(該點深度))倍祖先，1倍祖先就是父親，2倍祖先是父親的父親......。

void init()
{
  int i,j;
  //p[i][j]表示i結點的第2^j祖先
  for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
    for(i=1;i<=n;i++)
      if(p[i][j-1]!=-1)
        p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];//i的第2^j祖先就是i的第2^(j-1)祖先的第2^(j-1)祖先
}

3.從深度大的節點上升至深度小的節點同層，如果此時兩節點相同直接返回此節點，即lca。

否則，利用倍增法找到最小深度的 p[a][j]!=p[b][j]，此時他們的父親p[a][0]即lca。

int lca(int a,int b)//最近公共祖先
{
  int i,j;
  if(deep[a]<deep[b])swap(a,b);
  for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);
  i--;
  //使a，b兩點的深度相同
  for(j=i;j>=0;j--)
    if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b])
      a=p[a][j];
  if(a==b)return a;
  //倍增法，每次向上進深度2^j，找到最近公共祖先的子結點
  for(j=i;j>=0;j--)
  {
    if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])
    {
      a=p[a][j];
      b=p[b][j];
    }
  }
  return p[a][0];
}