【Codeforces】GoodBye 2019簡要題解

傳送門
七道構造題，外加一道暴力，妙啊！ 話說構造題太考驗思維了，想不到就沒了。

A.Card Game

• 直接貪心即可

B.Interesting Subarray

• 可以發現當且僅當存在相鄰的兩個不滿足條件時才存在，也就是說任意一個不合法的子段一定有這麼一個相鄰的位置不合法。

C.Make Good

• 因爲要求$\sum a_i=2*(a_1 \:xor\:a_2\:xor...a_k)$，注意到有一個乘二，所以說最後一個位置相當於是已經確定了，然後倒着推過去就可以O(log)的時間用一個數完成要求的構造。
• 或者還有一種構造方法。設剛開始的和爲s1,異或和爲s2。
• 第一個數是s2，第二個爲(s1+s2)。然後發現這樣就可以了？？？神奇。

D. Strange Device

• 簡單交互題 構造題。
• 只需要將前k+1個選擇k次，那麼返回的只會有第m大的出現k+1-m次，第m+1大的出現k次，然後找到返回值中小的那個的個數就好了。

E. Divide Points

• 剛開始一本正經地以爲是神仙的二分圖匹配的問題，結果還是構造？？？
• 奇偶討論。因爲要討論$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$的關係，所以直接按照x,y分別的奇偶性討論即可，一共有四種可能。
• 注意到如果有不止一種可能，那麼就一定能分成兩組（如果x-y都同奇偶，有兩組，那麼它們最後的距離mod4是不一樣的）。
• 否則全部座標除以二繼續做。可以預先全部變成正數。

F. Awesome Substrings

• 首先計算一個前綴和記錄爲s[i]，那麼相當於是求
  $\sum_{k>0}\sum_{0<=l<r<=n} [\:k(s[r]-s[l])=(r-l)\:]$
• 注意到k如果很大的話那麼$k*s[m]<=n$，那麼有效的$s[m]$滿足$s[m]<=\frac{n}{k}$
• 那麼我們就可以平衡規劃了。
• $k<=T$時暴力$O(Tn)$，$k>=T$的部分枚舉左端點$l$以及1的個數，計算右端點在這個區間內滿足$k>=T$的個數，時間$O(n^2/T)$。
• 可以用map完成暴力（雖然超級慢），然後要求上面兩個時間相等即可。

G. Subset with Zero Sum

• 真·構造。首先化一下很醜的約束式子變成$1<=i-a[i]<=n$。
• 超級優美——直接i向a[i]連邊，然後找環即可。

H. Number of Components

• 基礎線段樹
• 剛開始想建一個樹出來LCT，然後似乎有單調隊列？？？難搞
• 然後發現一個性質，聯通快一定是連續的一段區間。否則左邊一塊隔着幾個和右邊一塊相連，你會發現中間的幾個一定會和左邊的或右邊的相連。
• 既然如此，那麼問題就轉化爲了找分界點了。
• 分界點$x$一定滿足$Min_{i<x}(a_i)>Max_{i>=x}(a_i)$。
• 現在我們想要維護分界點的個數。直接做並不好做。考慮轉換一下模型。
• 對於上面的式子我們不妨找到$Min_{i<x}(a_i)$的$i$,將$a_j>=a_i$的$j$的位置賦爲1，$a_j<a_i$賦爲0.那麼最後對於這個$i$，我們得到的序列是類似11…110…00這樣的。如果我們在這個序列前面加一個1，後面加一個0，那麼這個序列$h$是這個形態當且僅當相鄰位置不同的個數爲1.
• 我們對於每一個$i$都維護一個$h$的相鄰位置不同的個數$f$，以$a[i]$爲關鍵字開一個權值線段樹，維護$f$。
• 可以注意到修改一個位置pos只會跟pos-1或pos+1在h中與pos的0/1狀態有關，影響到的剛好是一個區間。分類討論即可。
• 線段樹上只需要記錄最小的是什麼和最小的數的個數。
• 由於修改自己不好改，所以不妨離線下來，全部一起操作。預處理也可以變成類似的操作。