【61】你有兩個罐子，每個罐子各有若干紅色彈球和藍色彈球，兩個罐子共有50個紅色彈球，50個藍色彈球，隨機選出一個罐子，隨機從中選取出一個彈球，要使取出的是紅球的概率最大，一開始兩個罐子應放幾個紅球，幾個藍球？在你的計劃中，得到紅球的準確機率是多少？
答： 一個罐子放1紅，一個罐子放49紅和50藍，這樣得到紅球的概率接近3/4。
【62】你有四個裝藥丸的罐子，每個藥丸都有一定的重量，被污染的藥丸是沒被污染的重量＋1.只稱量一次，如何判斷哪個罐子的藥被污染了？
答： 與前面的54，56題相似。
【63】對一批編號爲1～100，全部開關朝上(開)的燈進行以下操作：凡是1的倍數反方向撥一次開關；2的倍數反方向又撥一次開關；3的倍數反方向又撥一次開關„„問：最後爲關熄狀態的燈的編號。
答：（1）最初這100個全部開關朝上的燈是亮的.每個燈操作次數如果是奇數,則是關熄狀態的燈；每個燈操作次數如果是偶數,則是亮的狀態的燈.
（2）“凡是1的倍數反方向撥一次開關；2的倍數反方向又撥一次開關；3的倍數反方向又撥一次開關……”最後每個燈操作次數不是偶數就是奇數.
（3）1的平方數是1；,2的平方數是4；3的平方數是9；4的平方數是16；------10的平方數是100.
（4）1、4、9、16、25、36、49、64、81、100這10個數的約數個數是奇數,其它90個數約數個數是偶數,所以編號爲完全平方數的燈操作次數爲奇數次.而其它編號爲非完全平方數的燈操作次數爲偶數次.
（5）最後爲關熄狀態的燈的編號是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.也就是編號爲完全平方數的燈.
【64】想象你在鏡子前，請問，爲什麼鏡子中的影像可以顛倒左右，卻不能顛倒上下？
答： 實際上鏡子並沒有顛倒左右，而是顛倒前後。
【65】一羣人開舞會，每人頭 上都戴着一頂帽子。帽子只有黑白兩種，黑的至少有一頂。每個人都能看到其它人帽子的顏色，卻看不到自己的。主持人先讓大家看看別人頭上戴的是什幺帽子，然 後關燈，如果有人認爲自己戴的是黑帽子，就打自己一個耳光。第一次關燈，沒有聲音。於是再開燈，大家再看一遍，關燈時仍然鴉雀無聲。一直到第三次關燈，才 有劈劈啪啪打耳光的聲音響起。問有多少人戴着黑帽子？
答： 第一次關燈沒人拍手說明不是黑帽子不止一個.如果只有一個，那戴黑帽子就會拍手,因爲他看到的都是戴白帽子的。
如果是兩個那麼第二次關燈的時候。戴黑帽子A只會看到戴黑帽子B一個戴黑色的帽子，這帶黑帽子A確定自己也是戴黑帽子。但是他們看到的不只只有一個戴黑帽子的
第三次關燈有人拍手說明只有三個人戴黑帽子。因爲戴黑帽子的只看到兩個人戴黑帽子，而如果只有兩個人戴黑帽子，那麼第二次關燈就應該拍手了。
所以只有三個人戴黑帽子
【66】兩個圓環，半徑分別是1和2，小圓在大圓內部繞大圓圓周一週，問小圓自身轉了幾周？如果在大圓的外部，小圓自身轉幾周呢？
答： 把大圓剪斷拉直。小圓繞大圓圓周一週，就變成從直線的一頭滾至另一頭。因爲直線長就是大圓的周長，是小圓周長的2倍，所以小圓要滾動2圈。
但是現在小圓不是沿直線而是沿大圓滾動，小圓因此還同時作自轉，當小圓沿大圓滾動1週迴到原出發點時，小圓同時自轉1周。當小圓在大圓內部滾動時自轉的方向與滾動的轉向相反，所以小圓自身轉了1周。當小圓在大圓外部滾動時自轉的方向與滾動的轉向相同，所以小圓自身轉了3周。
這一題非常有迷惑性，小圓在外部時其實是3圈，你可以拿個硬幣試試可以把圓看成一根繩子，長繩是短繩的2倍長，假設長繩開始接口在最底下，短繩接口在長繩接口處，然後短繩開始順時針繞，當短繩接口對着正左時，這時其實才繞了長繩的1/4，轉了180+90度，所以繞一圈是270*4=360*3 。同理小圓在內部時是1圈。也可以套用下列公式： 兩圓圓心距/轉動者半徑=轉動者切另一圓時的自轉數!!
【67】 1元錢一瓶汽水，喝完後兩個空瓶換一瓶汽水，問：你有20元錢，最多可以喝到幾瓶汽水？
答： 40瓶，20+10+5+2+1+1=39， 這時還有一個空瓶子，先向店主借一個空瓶，換來一瓶汽水喝完後把空瓶還給店主。
【68】有3頂紅帽子，4頂黑 帽子，5頂白帽子。讓10個人從矮到高站成一隊，給他們每個人頭上戴一頂帽子。每個人都看不見自己戴的帽子的顏色，卻只能看見站在前面那些人的帽子顏色。 （所以最後一個人可以看見前面9個人頭上帽子的顏色，而最前面那個人誰的帽子都看不見。現在從最後那個人開始，問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回 答說不知道，就繼續問他前面那個人。假設最前面那個人一定會知道自己戴的是黑帽子。爲什麼？ “有3頂黑帽子，2頂白帽子。讓三個人從前到後站成一排，給他們每個人頭上戴一頂帽子。每個人都看不見自己戴的帽子的顏色，卻只能看見站在前面那些人的帽子顏色。（所以最後一個人可以看見前面兩個人頭上帽子的顏色，中間那個人看得見前面那個人的帽子顏色但看不見在他後面那個人的帽子顏色，而最前面那個人誰的帽子都看不見。現在從最後那個人開始，問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說不知道，就繼續問他前面那個人。事實上他們三個戴的都是黑帽子，那麼最前面那個人一定會知道自己戴的是黑帽子。爲什麼？”
答：最前面的那個人聽見後面兩個人都說了“不知道”，他假設自己戴的是白帽子，於是中間那個人就看見他戴的白帽子。那麼中間那個人會作如下推理：“假設我戴了白帽子，那麼最後那個人就會看見前面兩頂白帽子，但總共只有兩頂白帽子，他就應該明白他自己戴的是黑帽子，現在他說不知道，就說明我戴了白帽子這個假定是錯的，所以我戴了黑帽子。”問題是中間那人也說不知道，所以最前面那個人知道自己戴白帽子的假定是錯的，所以他推斷出自己戴了黑帽子。
我們把這個問題推廣成如下的形式：
“有若干種顏色的帽子，每種若干頂。假設有若干個人從前到後站成一排，給他們每個人頭上戴一頂帽子。每個人都看不見自己戴的帽子的顏色，而且每個人都看得見在他前面所有人頭上帽子的顏色，卻看不見在他後面任何人頭上帽子的顏色。現在從最後那個人開始， 問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說不知道，就繼續問他前面那個人。一直往前問，那麼一定有一個人知道自己所戴的帽子顏色。”
這樣的推理可以繼續下去，但是我們已經看出了苗頭。最後那個人可以回答“知道”當且僅當他看見的全是白帽，所以他回答“不知道”當且僅當他至少看見了一頂黑帽。這就是所有帽子顏色問題的關鍵！
如果最後一個人回答“不知道”，那麼他至少看見了一頂黑帽，所以如果倒數第二人看見的都是白帽，那麼最後那個人看見的至少一頂黑帽在哪裏呢？不會在別處，只能在倒數第二人自己的頭上。這樣的推理繼續下去，對於隊列中的每一個人來說就成了：
“在我後面的所有人都看見了至少一頂黑帽，否則的話他們就會按照相同的判斷斷定自己戴的是黑帽，所以如果我看見前面的人戴的全是白帽的話，我頭上一定戴着我身後那個人看見的那頂黑帽。”
我們知道最前面的那個人什麼帽子都看不見，就不用說看見黑帽了，所以如果他身後的所有人都回答說“不知道”，那麼按照上面的推理，他可以確定自己戴的是黑帽，因爲他身後的人必定看見了一頂黑帽——只能是第一個人他自己頭上的那頂。事實上很明顯，第一個說出自己頭上是什麼顏色帽子的那個人，就是從隊首數起的第一個戴黑帽子的人，也就是那個從隊尾數起第一個看見前面所有人都戴白帽子的人。
這樣的推理也許讓人覺得有點循環論證的味道，因爲上面那段推理中包含了“如果別人也使用相同的推理”這樣的意思，在邏輯上這樣的自指式命題有點危險。但是其實這裏沒有循環論證，這是類似數學歸納法的推理，每個人的推理都建立在他後面那些人的推理上，而對於最後一個人來說，他的身後沒有人，所以他的推理不依賴於其他人的推理就可以成立，是歸納中的第一個推理。稍微思考一下，我們就可以把上面的論證改得適合於任何多種顏色的推論：
“如果我們可以從假設斷定某種顏色的帽子一定會在隊列中出現，從隊尾數起第一個看不見這種顏色的帽子的人就立刻可以根據和此論證相同的論證來作出判斷，他戴的是這種顏色的帽子。現在所有我身後的人都回答不知道，所以我身後的人也看見了此種顏色的帽子。如果在我前面我見不到此顏色的帽子，那麼一定是我戴着這種顏色的帽子。” 當然第一個人的初始推理相當簡單：“隊列中一定有人戴這種顏色的帽子，現在我看不見前面有人戴這顏色的帽子，那它只能是戴在我的頭上了。”
對於題1)事情就變得很明顯，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給10個人戴，隊列中每種顏色至少都該有一頂，於是從隊尾數起第一個看不見某種顏色的帽子的人就能夠斷定他自己戴着這種顏色的帽子，通過這點我們也可以看到，最多問到從隊首數起的第三人時，就應該有人回答“知道”了，因爲從隊首數起的第三人最多隻能看見兩頂帽子，所以最多看見兩種顏色，如果他後面的人都回答“不知道”，那麼他前面一定有兩種顏色的帽子，而他頭上戴的一定是他看不見的那種顏色的帽子。
題2)也一樣，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給8個人戴，那麼隊列中一定至少有一頂白帽子，因爲其它顏色加起來一共才7頂，所以隊列中一定會有人回答“知道”。 題4)的規模大了一點，但是道理和2)完全一樣。100種顏色的5050頂帽子給5000人戴，前面99種顏色的帽子數量是1+„„+99=4950，所以隊列中一定有第100種顏色的帽子（至少有50頂），所以如果自己身後的人都回答“不知道”，那麼那個看不見顏色100帽子的人就可以斷定自己戴着這種顏色的帽子。 至於5)、6)“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數目都比人數少1”，原理完全相同，我就不具體分析了。
最後要指出的一點是，上面我們只是論證了，如果我們可以根據各種顏色帽子的數量和隊列中的人數判斷出在隊列中至少有一頂某種顏色的帽子，那麼一定有一人可以判斷出自己頭上的帽子的顏色。因爲如果所有身後的人都回答“不知道”的話，那個從隊尾數起第一個
看不見這種顏色的帽子的人就可以判斷自己戴了此顏色的帽子。但是這並不是說在詢問中一定是由他來回答“知道”的，因爲還可能有其他的方法來判斷自己頭上帽子的顏色。比如說在題2)中，如果隊列如下：（箭頭表示隊列中人臉朝的方向） 白白黑黑黑黑紅紅紅白→
那麼在隊尾第一人就立刻可以回答他頭上的是白帽，因爲他看見了所有的3頂紅帽子和4頂黑帽子，能留給他自己戴的只能是白帽子了
【69】假設排列着100個乒乓球，由兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球的人爲勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿1個，但最多不能超過5個，問：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個？以後怎麼拿就能保證你能得到第100個乒乓球？
答：首先拿4個 別人拿n個你就拿6－n個
【70】盧姆教授說：“有一次 我目擊了兩隻山羊的一場殊死決鬥，結果引出了一個有趣的數學問題。我的一位鄰居有一隻山羊，重54磅，它已有好幾個季度在附近山區稱王稱霸。後來某個好事 之徒引進了一隻新的山羊，比它還要重出3磅。開始時，它們相安無事，彼此和諧相處。可是有一天，較輕的那隻山羊站在陡峭的山路頂上，向它的競爭對手猛撲過 去，那對手站在土丘上迎接挑戰，而挑戰者顯然擁有居高臨下的優勢。不幸的是，由於猛烈碰撞，兩隻山羊都一命嗚呼了。
現在要講一講本題的奇妙之處。對飼養山羊頗有研究，還寫過書的喬治．阿伯克龍比說道：“通過反覆實驗，我發現，動量相當於一個自20英尺高處墜落下來 的30磅重物的一次撞擊，正好可以打碎山羊的腦殼，致它死命。”如果他說得不錯，那麼這兩隻山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破腦殼？你能算出來 嗎？
答： 1英尺（ft）=0.3048米（m） 1磅（lb）=0.454千克（kg）
通過實驗得到撞破腦殼所需要的機械能是mgh=（30*0.454）*9.8*（20*0.3048）=813.669（J）對於兩隻山羊撞擊瞬間來說，比較重的那隻僅僅是站在原地，只有較輕的山羊具有速度，而題目中暗示我們，兩隻羊僅一次碰撞致死。現在我們只需要求得碰撞瞬間輕山羊的瞬時速度就可以了，根據機械能守恆定律:mgh=1/2(m1v^2)可以得出速度。m1是輕山羊的重量。
【71】據說有人給酒肆的老闆娘出了一個難題：此人明明知道店裏只有兩個舀酒的勺子，分別能舀7兩和11兩酒，卻硬要老闆娘賣給他2兩酒。聰明的老闆娘毫不含糊，用這兩個勺子在酒缸裏舀酒，並倒來倒去，居然量出了2兩酒，聰明的你能做到嗎？
答：11,0-->4,7-->4,0-->0,4-->11,4-->8,7-->8,0-->1,7-->1,0-->0,1-->11,1-->5,7-->5,0-->0,5-->11,5-->9,7-->9,0-->2,7，這樣就有2斤了。
【72】已知： 每個飛機只有一個油箱， 飛機之間可以相互加油（注意是相互，沒有加油機） 一箱油可供一架飛機繞地球飛半圈，問題：爲使至少一架飛機繞地球一圈回到起飛時的飛機場，至少需要出動幾架飛機？
答：（所有飛機從同一機場起飛，而且必須安全返回機場，不允許中途降落，中間沒有飛機場） 需要3架飛機（記爲A，B，C），A走完全程。如下圖，黑色箭頭表示飛行方向，紅色箭頭表示一架給另一架加油，紅色數字表示加油量整個油箱容量的比值。
【73】一個經理有三個女兒，三個女兒的年齡加起來等於13，三個女兒的年齡乘起來等於經理自己的年齡，有一個下屬已知道經理的年齡，但仍不能確定經理三個女兒的年齡，這時經理說只有一個女兒的頭髮是黑的，然後這個下屬就知道了經理三個女兒的年齡。請問三個女兒的年齡分別是多少？爲什麼？
答：此經理有一對雙胞胎女兒，她們的年齡分別是：2歲、2歲、9歲；經理的年齡是32歲；有以下幾種可能：1*1*11=11，1*2**10=20，1*3*9=27，1*4*8=32，1*5*7=35，{1*6*6=36}，{2*2*9=36}，2*3*8=48，2*4*7=56，2*5*6=60，3*3*7=63，3*4*6=72，3*5*5=75，4*4*5=80 而其中，只有一個女兒頭髮是黑的說明有一個年紀比較大，剩下兩個較小，因此只有2*2*9=36一種可能
【74】一個岔路口分別通向誠實國和說謊國。來了兩個人，已知一個是誠實國的，另一個是說謊國的。誠實國永遠說實話，說謊國永遠說謊話。現在你要去說謊國，但不知道應該走哪條路，需要問這兩個人。請問應該怎麼問？
答：問：請問你從哪裏來？
回答肯定都是指向誠實國的。
【75】在一天的24小時之中，時鐘的時針、分針和秒針完全重合在一起的時候有幾次？都分別是什麼時間？你怎樣算出來的？
答：只有兩次
假設時針的角速度是ω（ω=π/6每小時），則分針的角速度爲12ω，秒針的角速度爲72ω。分針與時針再次重合的時間爲t，則有12ωt-ωt=2π，t=12/11小時，換算成時分秒爲1小時5分27.3秒，顯然秒針不與時針分針重合，同樣可以算出其它10次分針與時針重合時秒針都不能與它們重合。只有在正12點和0點時纔會重。 證明：將時針視爲靜止，考察分針，秒針對它的相對速度： 12個小時作爲時間單位“1”，“圈/12小時”作爲速度單位， 則分針速度爲11，秒針速度爲719。
由於11與719互質，記12小時/（11*719）爲時間單位Δ， 則分針與時針重合當且僅當 t=719kΔ k∈Z 秒針與時針重合當且僅當 t=11jΔ j∈Z
而719與11的最小公倍數爲11*719，所以若t=0時三針重合，則下一次三針重合 必然在t=11*719*Δ時，即t=12點。
【76】你有兩個罐子以及50個紅色彈球和50個藍色彈球，隨機選出一個罐子， 隨機選出一個彈球放入罐子，怎麼給出紅色彈球最大的選中機會？在你的計劃裏，得到紅球的機率是多少？
答：紅色彈球最大的選中機會：一個罐子放一個紅球,另一個罐子放49個紅球和50個藍球,得到紅球概率大於50%.
【77】有兩根不均勻分佈的香，香燒完的時間是一個小時，你能用什麼方法來確定一段15分鐘的時間？
答：、一隻兩頭點燃，另一隻一頭點燃，當第一隻燒完後，第二隻丙再頭點燃，就可以得到15`
【78】有三個人去住旅館，住三間房，每一間房$10元，於是他們一共付給老闆$30， 第二天，老闆覺得三間房只需要$25元就夠了於是叫小弟退回$5給三位客人， 誰知小弟貪心,只退回每人$1，自己偷偷拿了$2，這樣一來便等於那三位客人每人各花了九元， 於是三個人一共花了$27，再加上小弟獨吞了不$2，總共是$29。可是當初他們三個人一共付出$30那麼還有$1呢？
答：怎麼會是每人每天九元呢,每人每天 (25/3) + 1，那1元差在25 - 24 = 1
【79】有一輛火車以每小時15公里的速度離開洛杉磯直奔紐約，另一輛火車以每小時20公里的速度從紐約開往洛杉磯。如果有一隻鳥，以30公里每小時的速度和兩輛火車同時啓動，從洛杉磯出發，碰到另一輛車後返回，依次在兩輛火車來回飛行，直到兩輛火車相遇，請問，這隻小鳥飛行了多長距離？
答：設洛杉磯到紐約的距離爲s千米.則兩輛火車相遇時間爲s/（15+20）
小鳥飛行距離爲：s/（15+20）*30=6/7*s千米
【80】你有一桶果凍，其中有黃色，綠色，紅色三種，閉上眼睛，抓取兩個同種顏色的果凍。抓取多少個就可以確定你肯定有兩個同一顏色的果凍？
答：答案是4個.
1、第一次就抓取了兩個一樣顏色.
2、第一次抓取的兩個顏色不同.那就再抓兩個,要麼這兩個相同,要麼有至少一個與第一次有相同.